Vermutung
Der Schwerpunkt eines aus 2 Teilobjekten bestehenden Objekts befindet sich auf einer Geraden mit den Schwerpunkten seiner Teilobjekte.
Beweis
Die parameterform der allgemeine Geradengleichung lautet
g: \vec r = \vec r_0 + \lambda \vec u
Der Schwerpunkt eines Objekts aus n Teilobjekten lässt sich berechnen durch
\vec s = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{\vec s_{i} m_{i}}}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{m_{i}}}
Für n = 2 sieht die Gleichung so aus:
\vec s = \frac{\vec s_1 m_1 + \vec s_2 m_2}{m_1 + m_2}
| \cdot (m_1 + m_2)
\vec s m_1 + \vec s m_2 = \vec s_1 m_1 + \vec s_2 m_2
| \div m_2
\vec s \frac{m_1}{m_2} + \vec s = \vec s_1 \frac{m_1}{m_2} + \vec s_2
\vec s (\frac{m_1}{m_2} + 1) = \vec s_1 \frac{m_1}{m_2} + \vec s_2
c := \frac{m_1}{m_2} + 1
\vec s c = \vec s_1 (c - 1) + \vec s_2
\vec s c = \vec s_1 c - \vec s_1 + \vec s_2
| \div c
\vec s = \vec s_1 - \frac{\vec s_1}{c} + \frac{\vec s_2}{c}
\vec s = \vec s_1 + \frac{\vec s_2 - \vec s_1}{c}
\vec s = \vec s_1 + \frac{1}{c} (\vec s_2 - \vec s_1)
c = \frac{m_1}{m_2} + 1
c = \frac{m_1}{m_2} + \frac{m_2}{m_2}
c = \frac{m_1 + m_2}{m_2}
\frac{1}{c} = \frac{m_2}{m_1 + m_2}
\vec s = \vec s_1 + \frac{m_2}{m_1 + m_2} (\vec s_2 - \vec s_1)
dies entspricht einer Geradengleichung
\vec r = \vec r_0 + \lambda \vec u
mit \vec r = \vec s , \vec r_0 = \vec s_1 , \lambda = \frac{m_2}{m_1 + m_2} und \vec u = \vec s_2 - \vec s_1
q.e.d.
Ein konkretes Beispiel:
%hide
%auto
# Definition eines Rechtecks
class rect:
def __init__(self, p, w, h): # Initializierung mit ("UrsprungsPunkt", Breite, Höhe)
self.p = vector(p)
self.w = vector((w,0))
self.h = vector((0,h))
def cog(self): # Center of Gravity - Schwerpunkt
return self.p + (self.w + self.h) / 2
def mass(self): # "Masse" (Fläche)
return self.w[0] * self.h[1]
def moment(self): # Statisches Moment
return self.cog() * self.mass()
def outline(self, **kwargs): # Umriss
p, w, h = self.p, self.w, self.h
return line((p, p + w, p + w + h, p + h, p), **kwargs)
# Definition eines kombiniertes Objekts
class combo:
def __init__(self, elms): # Initialisierung mit (Liste von Objekten)
self.elms = elms
def cog(self): # Summe der Momente / Summe der "Massen"
return (sum(e.moment() for e in self.elms)
/ sum(e.mass() for e in self.elms))
def outline(self, **kwargs):
return sum(e.outline(**kwargs) for e in self.elms)
# 2 Rechteck Objekte instanzieren
r1 = rect((0, 0), 1, 3)
r2 = rect((0, 3), 5, 1)
#r1 = rect((10, 30), 30, 80)
#r2 = rect((5, 10), 120, 20)
# Kombination daraus instanzieren
c = combo((r1, r2))
# Die 2 Rechtecke und deren Schwerpunkte anzeigen
#show(r1.outline(color='red') + point(r1.cog()) +
# r2.outline(color='green') + point(r2.cog()), aspect_ratio = 1)
# Das kombinierte Objekt und dessen Schwerpunk anzeigen
#show(c.outline(color='blue') + point(c.cog()), aspect_ratio = 1)
# Wieder die 2 Rechtecke und deren Schwerpunkte
# + die Verbindungsline der Schwerpunkte + der Schwerpunkt des kombinierten Objekts anzeigen
show(r1.outline(color='red') + point(r1.cog()) +
r2.outline(color='green') + point(r2.cog()) + line((r1.cog(), r2.cog())) + point(c.cog()), aspect_ratio = 1)
# Bestimmen des Parameter der Geradengleichung
r0 = r1.cog()
u = r2.cog() - r1.cog()
l = r2.mass()/(r1.mass() + r2.mass())
# Aufstellen der Geradengleichung
r = r0 + l * u
# Entspricht der Schwerpunkt dem Wert der Geradengleichung ???
show("Beweis erbracht: " + str( c.cog() == r ))
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Weiterführende Links:
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