nassira Clase Miércoles 7 Dic

168 days ago by nazzis666

Transformaciones Lineales

Primero veamos la definición de transformaciones f: Rn → Rm

Ejemplo dados:

W1=3x1-4x2
W2=x1+2x2
W3=6x1-x2
W4=10x2
Define T: R2 → R4
T(x1, x2) = (w1, w2, w3, w4)
T(x1, x2) = (3x1-4x2, x1+2x2, 6x1-x2, 10x2)
Evaluando esta función, tomando un punto (cualesquiera) de R2 y se sustituye en la función, para obtener una transformación que nos dará como resultado una función que está en R4.
x1=-5 x2=2 w1 = (3*x1)-(4*x2) w2 = (x1)+(2*x2) w3 = (6*x1) - x2 w4 = (10*x2) print "w1= ",w1 print "w2= ",w2 print "w3= ",w3 print "w4= ",w4 
        
w1=  -23
w2=  -1
w3=  -32
w4=  20
w1=  -23
w2=  -1
w3=  -32
w4=  20

¿Cómo verificar que una transformación es lineal? Si para u y v, teniendo a c como una escalar se cumple:

T(u+v)=T(u) + T(v)
T(cu) =cT(u)
Ejemplo: T: Sea R2 → R3 una transformación dada por T(x,y) = (2x, x-y, 2x + 3y) ¿La transformación es lineal?
Paso 1: ¿Se cumple T(0)=0?
x=0 y=0 z = matrix([2*x,x-y,(2*x)+(3*y)]) print z 
        
[0 0 0]
[0 0 0]
Paso 2: Identificar c,u,v, u+v y cu
var('u1,u2,v1,v2,c') u = matrix([u1,u2]) v = matrix([v1,v2]) print "u+v = ",u+v print "cu = ",c*u 
        
u+v =  [u1 + v1 u2 + v2]
cu =  [c*u1 c*u2]
u+v =  [u1 + v1 u2 + v2]
cu =  [c*u1 c*u2]
Paso 3: Encontrar la transformación T(u+v)
x=u1+v1 y=u2+v2 z = matrix([2*x,x-y,(2*x)+(3*y)]) print z 
        
[              2*u1 + 2*v1         u1 - u2 + v1 - v2 2*u1 + 3*u2 + 2*v1
+ 3*v2]
[              2*u1 + 2*v1         u1 - u2 + v1 - v2 2*u1 + 3*u2 + 2*v1 + 3*v2]
Paso 4: Encontrar las transformaciones T(u) y T(v), comprobar que la suma por separado dé el resultado anterior.
x=u1 y=u2 x1=v1 y1=v2 zu = matrix([2*x,x-y,(2*x)+(3*y)]) zv = matrix([2*x1,x1-y1,(2*x1)+(3*y1)]) print zu print zv print zu+zv 
        
[       2*u1     u1 - u2 2*u1 + 3*u2]
[       2*v1     v1 - v2 2*v1 + 3*v2]
[              2*u1 + 2*v1         u1 - u2 + v1 - v2 2*u1 + 3*u2 + 2*v1
+ 3*v2]
[       2*u1     u1 - u2 2*u1 + 3*u2]
[       2*v1     v1 - v2 2*v1 + 3*v2]
[              2*u1 + 2*v1         u1 - u2 + v1 - v2 2*u1 + 3*u2 + 2*v1 + 3*v2]
Paso 5: Encontrar T(cu) y cT(u)
var('cu1,cu2') x=cu1 y=cu2 T(cu) = matrix([2*x,x-y,(2*x)+(3*y)]) print "T(cu)= ",T(cu) x=u1 y=u2 t= matrix([2*x,x-y,(2*x)+(3*y)]) print "c*T(u)= ",c*t 
        
T(cu)=  [        2*cu1     cu1 - cu2 2*cu1 + 3*cu2]
c*T(u)=  [         2*c*u1     (u1 - u2)*c (2*u1 + 3*u2)*c]
T(cu)=  [        2*cu1     cu1 - cu2 2*cu1 + 3*cu2]
c*T(u)=  [         2*c*u1     (u1 - u2)*c (2*u1 + 3*u2)*c]

Ejercicio único: ¿Es lineal la transformación T(x1,x2)=(w1,w2,w3,w4)?, considera:

w1=(2x1-x2)
w2=(5x1+3x2)
w3=(6x1-2x2+3)
w4=(10x2+5)

x1=5 x2=2 w1 = (2*x1)-(x2) w2 = (5*x1)+(3*x2) w3 = (6*x1) - (2*x2) +3 w4 = (10*x2)+5 print "w1= ",w1 print "w2= ",w2 print "w3= ",w3 print "w4= ",w4 
        
w1=  8
w2=  31
w3=  29
w4=  25
w1=  8
w2=  31
w3=  29
w4=  25
#1 x=0 y=0 z = matrix([2*x-x,5*x+3*x,6*x - 2*x +3,10*x+5]) print z 
        
[0 0 3 5]
[0 0 3 5]
#2 var('u1,u2,v1,v2,c') u = matrix([u1,u2]) v = matrix([v1,v2]) print "u+v = ",u+v print "cu = ",c*u 
        
u+v =  [u1 + v1 u2 + v2]
cu =  [c*u1 c*u2]
u+v =  [u1 + v1 u2 + v2]
cu =  [c*u1 c*u2]
#3 x=u1+v1 y=u2+v2 z = matrix([2*x-x,5*x+3*x,6*x - 2*x +3,10*x+5]) print z 
        
[          u1 + v1       8*u1 + 8*v1   4*u1 + 4*v1 + 3 10*u1 + 10*v1 +
5]
[          u1 + v1       8*u1 + 8*v1   4*u1 + 4*v1 + 3 10*u1 + 10*v1 + 5]
#4 x=u1 y=u2 x1=v1 y1=v2 zu = matrix([2*x-x,5*x+3*x,6*x - 2*x +3,10*x+5]) zv = matrix([2*x-x,5*x+3*x,6*x - 2*x +3,10*x+5]) print zu print zv print zu+zv 
        
[       u1      8*u1  4*u1 + 3 10*u1 + 5]
[       u1      8*u1  4*u1 + 3 10*u1 + 5]
[      2*u1      16*u1   8*u1 + 6 20*u1 + 10]
[       u1      8*u1  4*u1 + 3 10*u1 + 5]
[       u1      8*u1  4*u1 + 3 10*u1 + 5]
[      2*u1      16*u1   8*u1 + 6 20*u1 + 10]
#5 var('cu1,cu2') x=cu1 y=cu2 T(cu) = matrix([2*x-x,5*x+3*x,6*x - 2*x +3,10*x+5]) print "T(cu)= ",T(cu) x=u1 y=u2 t= matrix ([2*x-x,5*x+3*x,6*x - 2*x +3,10*x+5]) print "c*T(u)= ",c*t 
        
T(cu)=  [       cu1      8*cu1  4*cu1 + 3 10*cu1 + 5]
c*T(u)=  [          c*u1         8*c*u1   (4*u1 + 3)*c 5*(2*u1 + 1)*c]
T(cu)=  [       cu1      8*cu1  4*cu1 + 3 10*cu1 + 5]
c*T(u)=  [          c*u1         8*c*u1   (4*u1 + 3)*c 5*(2*u1 + 1)*c]
el paso uno no se cumple por que t=0 y no nos dio cero en todos solo en los dos primeros. 
        
Traceback (click to the left of this block for traceback)
...
SyntaxError: invalid syntax
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "_sage_input_16.py", line 10, in <module>
    exec compile(u'open("___code___.py","w").write("# -*- coding: utf-8 -*-\\n" + _support_.preparse_worksheet_cell(base64.b64decode("ZWwgcGFzbyB1bm8gbm8gc2UgY3VtcGxlIHBvciBxdWUgdD0wIHkgbm8gbm9zIGRpbyBjZXJvIGVuIHRvZG9zIHNvbG8gZW4gbG9zIGRvcyBwcmltZXJvcy4="),globals())+"\\n"); execfile(os.path.abspath("___code___.py"))
  File "", line 1, in <module>
    
  File "/tmp/tmpdlqI_W/___code___.py", line 3
    el paso uno no se cumple por que t=_sage_const_0  y no nos dio cero en todos solo en los dos primeros.
          ^
SyntaxError: invalid syntax
no es una transformacion lineal ya que el paso uno no me dio ceros en tonces por lo tanto ya desde hay nos indica que no es una transformacion lineal