Clase Miércoles 7 Dic

168 days ago by janethso@Tecpabellon

Transformaciones Lineales

Primero veamos la definición de transformaciones f: Rn → Rm

Ejemplo dados:

W1=3x1-4x2
W2=x1+2x2
W3=6x1-x2
W4=10x2
Define T: R2 → R4
T(x1, x2) = (w1, w2, w3, w4)
T(x1, x2) = (3x1-4x2, x1+2x2, 6x1-x2, 10x2)
Evaluando esta función, tomando un punto (cualesquiera) de R2 y se sustituye en la función, para obtener una transformación que nos dará como resultado una función que está en R4.
x1=-5 x2=2 w1 = (3*x1)-(4*x2) w2 = (x1)+(2*x2) w3 = (6*x1) - x2 w4 = (10*x2) print "w1= ",w1 print "w2= ",w2 print "w3= ",w3 print "w4= ",w4 
        
w1=  -23
w2=  -1
w3=  -32
w4=  20
w1=  -23
w2=  -1
w3=  -32
w4=  20

¿Cómo verificar que una transformación es lineal? Si para u y v, teniendo a c como una escalar se cumple:

T(u+v)=T(u) + T(v)
T(cu) =cT(u)
Ejemplo: T: Sea R2 → R3 una transformación dada por T(x,y) = (2x, x-y, 2x + 3y) ¿La transformación es lineal?
Paso 1: ¿Se cumple T(0)=0?
x=0 y=0 z = matrix([2*x,x-y,(2*x)+(3*y)]) print z 
        
[0 0 0]
[0 0 0]
Paso 2: Identificar c,u,v, u+v y cu
var('u1,u2,v1,v2,c') u = matrix([u1,u2]) v = matrix([v1,v2]) print "u+v = ",u+v print "cu = ",c*u 
        
u+v =  [u1 + v1 u2 + v2]
cu =  [c*u1 c*u2]
u+v =  [u1 + v1 u2 + v2]
cu =  [c*u1 c*u2]
Paso 3: Encontrar la transformación T(u+v)
x=u1+v1 y=u2+v2 z = matrix([2*x,x-y,(2*x)+(3*y)]) print z 
        
[              2*u1 + 2*v1         u1 - u2 + v1 - v2 2*u1 + 3*u2 + 2*v1
+ 3*v2]
[              2*u1 + 2*v1         u1 - u2 + v1 - v2 2*u1 + 3*u2 + 2*v1 + 3*v2]
Paso 4: Encontrar las transformaciones T(u) y T(v), comprobar que la suma por separado dé el resultado anterior.
x=u1 y=u2 x1=v1 y1=v2 zu = matrix([2*x,x-y,(2*x)+(3*y)]) zv = matrix([2*x1,x1-y1,(2*x1)+(3*y1)]) print zu print zv print zu+zv 
        
[       2*u1     u1 - u2 2*u1 + 3*u2]
[       2*v1     v1 - v2 2*v1 + 3*v2]
[              2*u1 + 2*v1         u1 - u2 + v1 - v2 2*u1 + 3*u2 + 2*v1
+ 3*v2]
[       2*u1     u1 - u2 2*u1 + 3*u2]
[       2*v1     v1 - v2 2*v1 + 3*v2]
[              2*u1 + 2*v1         u1 - u2 + v1 - v2 2*u1 + 3*u2 + 2*v1 + 3*v2]
Paso 5: Encontrar T(cu) y cT(u)
var('cu1,cu2') x=cu1 y=cu2 T(cu) = matrix([2*x,x-y,(2*x)+(3*y)]) print "T(cu)= ",T(cu) x=u1 y=u2 t= matrix([2*x,x-y,(2*x)+(3*y)]) print "c*T(u)= ",c*t 
        
T(cu)=  [        2*cu1     cu1 - cu2 2*cu1 + 3*cu2]
c*T(u)=  [         2*c*u1     (u1 - u2)*c (2*u1 + 3*u2)*c]
T(cu)=  [        2*cu1     cu1 - cu2 2*cu1 + 3*cu2]
c*T(u)=  [         2*c*u1     (u1 - u2)*c (2*u1 + 3*u2)*c]

Ejercicio único: ¿Es lineal la transformación T(x1,x2)=(w1,w2,w3,w4)?, considera:

w1=(2x1-x2)
w2=(5x1+3x2)
w3=(6x1-2x2+3)
w4=(10x2+5)

x1=-5 x2=2 w1 = (2*x1)-(x2) w2 = (5*x1)+(3*x2) w3 = (6*x1) -(2*x2+3) w4 = (10*x2+5) print "w1= ",w1 print "w2= ",w2 print "w3= ",w3 print "w4= ",w4 
        
w1=  -12
w2=  -19
w3=  -37
w4=  25
w1=  -12
w2=  -19
w3=  -37
w4=  25
#Paso 1 x1=0 x2=0 z = matrix([(2*x1)-(x2),(5*x1)+(3*x2),(6*x1)-(2*x2+3),(10*x2+5)]) print z 
        
[ 0  0 -3  5]
[ 0  0 -3  5]
NO ES UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL YA QUE NO CUMPLE CON T(0)=0. 
       
#PASO 2 var('u1,u2,v1,v2,c') u = matrix([u1,u2]) v = matrix([v1,v2]) print "u+v = ",u+v print "cu = ",c*u 
        
u+v =  [u1 + v1 u2 + v2]
cu =  [c*u1 c*u2]
u+v =  [u1 + v1 u2 + v2]
cu =  [c*u1 c*u2]
#PASO 3 x1=u1+v1 x2=u2+v2 z = matrix([(2*x1)-(x2),(5*x1)+(3*x2),(6*x1)-(2*x2+3),(10*x2+5)]) print z 
        
[        2*u1 - u2 + 2*v1 - v2     5*u1 + 3*u2 + 5*v1 + 3*v2 6*u1 - 2*u2
+ 6*v1 - 2*v2 - 3             10*u2 + 10*v2 + 5]
[        2*u1 - u2 + 2*v1 - v2     5*u1 + 3*u2 + 5*v1 + 3*v2 6*u1 - 2*u2 + 6*v1 - 2*v2 - 3             10*u2 + 10*v2 + 5]
#PASO 4 x1=u1 X2=u2 x3=v1 X3=v2 zu = matrix([(2*x1)-(x2),(5*x1)+(3*x2),(6*x1)-(2*x2+3),(10*x2+5)]) zv = matrix([(2*x3)-(x3),(5*x3)+(3*x3),(6*x3)-(2*x3+3),(10*x3+5)]) print zu print zv print zu+zv 
        
[        2*u1 - u2 - v2     5*u1 + 3*u2 + 3*v2 6*u1 - 2*u2 - 2*v2 - 3   
10*u2 + 10*v2 + 5]
[       v1      8*v1  4*v1 - 3 10*v1 + 5]
[          2*u1 - u2 + v1 - v2     5*u1 + 3*u2 + 8*v1 + 3*v2 6*u1 - 2*u2
+ 4*v1 - 2*v2 - 6    10*u2 + 10*v1 + 10*v2 + 10]
[        2*u1 - u2 - v2     5*u1 + 3*u2 + 3*v2 6*u1 - 2*u2 - 2*v2 - 3      10*u2 + 10*v2 + 5]
[       v1      8*v1  4*v1 - 3 10*v1 + 5]
[          2*u1 - u2 + v1 - v2     5*u1 + 3*u2 + 8*v1 + 3*v2 6*u1 - 2*u2 + 4*v1 - 2*v2 - 6    10*u2 + 10*v1 + 10*v2 + 10]
#PASO 5 var('cu1,cu2') x=cu1 y=cu2 T(cu) = matrix([(2*x1)-(x2),(5*x1)+(3*x2),(6*x1)-(2*x2+3),(10*x2+5)]) print "T(cu)= ",T(cu) x=u1 y=u2 t= matrix([(2*x1)-(x2),(5*x1)+(3*x2),(6*x1)-(2*x2+3),(10*x2+5)]) print "c*T(u)= ",c*t 
        
T(cu)=  [        2*u1 - u2 - v2     5*u1 + 3*u2 + 3*v2 6*u1 - 2*u2 -
2*v2 - 3      10*u2 + 10*v2 + 5]
c*T(u)=  [        (2*u1 - u2 - v2)*c     (5*u1 + 3*u2 + 3*v2)*c (6*u1 -
2*u2 - 2*v2 - 3)*c      5*(2*u2 + 2*v2 + 1)*c]
T(cu)=  [        2*u1 - u2 - v2     5*u1 + 3*u2 + 3*v2 6*u1 - 2*u2 - 2*v2 - 3      10*u2 + 10*v2 + 5]
c*T(u)=  [        (2*u1 - u2 - v2)*c     (5*u1 + 3*u2 + 3*v2)*c (6*u1 - 2*u2 - 2*v2 - 3)*c      5*(2*u2 + 2*v2 + 1)*c]