Janeth_(Rango, Bases, Transformaciones I)

169 days ago by janethso@Tecpabellon

Rango de una matriz

El rango de una matriz está definido por el número máximo de filas y columnas linealmente independientes. El rango de una matriz también se define como: Rango(Amxn) ≤ min(m,n)
Por ejemplo: El rango en una matriz de 3 x 5 no puede ser más de 3, y el rango de una matriz de 4 x 2 no puede ser más de 2 ¿Por qué? En SAGE se puede calcular como: se pued
u = matrix([[2,1,4],[5,1,-2],[3,1,0]]) u.rank() 
        
3
3

Base de un espacio vectorial

Supon que V es un subespacio para Rn, una colección de vectores B={V1,V2....Vr} de V, son una base para v, si B es linealmente independiente y expande V.
Una colección de vectores expande V, cuando hay suficientes vectores, de tal forma que cada vector en V pueda ser escrito como una combinación lineal de los vectores que están en la colección. Si la colección es linealmente independiente, entonces no contiene suficientes vectores que se puedan hacer dependientes unos de otros.
En otras palabras: Una base tiene el tamaño justo es lo suficientemente grande para expander el espacio vectorial, pero no demasiado grande para que algunos vectores se conviertan dependientes unos de otros.
Dimensión de un espacio vectorial: Si V es un subespacio de Rn, si V tiene una base que contiene exactamente r vectores, entonces el número de vectores en la base para un espacio vectorial es la dimensión de V .

Ejemplo: Determinar si los vectores v1=(1,-1,1),v2=(0,1,2) y v3=(3,0,-1). ¿Son base para R3?

1 ¿Expande a R3?: Determinar si existen k1,k2 y k3 de tal forma que:


k1V1+k2V2+.......+knVn=0
Resolver el sistema de ecuaciones lineales para encontrar los valores de las constantes.
u = matrix([[1,0,3,0],[-1,1,0,0],[1,2,-1,0]]) u.echelon_form() 
        
[ 1  0  3  0]
[ 0  1  3  0]
[ 0  0 10  0]
[ 1  0  3  0]
[ 0  1  3  0]
[ 0  0 10  0]
var('k1,k2,k3') eqn = [1*k1+0*k2+3*k3==0, -1*k1+1*k2+0*k3==0, 1*k1+2*k2-1*k3==0] s = solve(eqn, k1,k2,k3); s 
        
[[k1 == 0, k2 == 0, k3 == 0]]
[[k1 == 0, k2 == 0, k3 == 0]]

2 ¿Los vectores son linealmente independientes?: Determinar si el determinante es diferente de cero:
w = matrix([[1,0,3],[-1,1,0],[1,2,-1]]) w.determinant() 
        
-10
-10
Los vectores SI pueden formar una base para R3, ya que expanden a R3 (combinación lineal) y son linealmente independientes

Resuelve los siguientes ejercicios, utilizando en cada caso los puntos anteriores para comprobar si los vectores son base para R3. Las hojas de trabajo de SAGE deberán estar publicadas antes de las 16:00 hrs del Martes 6 de diciembre.

Ejercicio 1: ¿Los vectores V1=(1,0,0), V2=(0,1,0) y V3=(0,0,1) son base para R3?

Ejercicio 2: ¿Los vectores V1=(1,1,0), V2=(-1,0,0) son base para R3?

Ejercicio 3: ¿Los vectores V1=(1,-1,1), V2=(-1,2,-2) y V3=(-1,4,-4) son base para R3?
#1 u = matrix([[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,1,0]]) u.echelon_form() 
        
[1 0 0 0]
[0 1 0 0]
[0 0 1 0]
[1 0 0 0]
[0 1 0 0]
[0 0 1 0]
var('k1,k2,k3') eqn = [k1+0*k2+0*k3==0, 0*k1+1*k2+0*k3==0, 0*k1+0*k2+1*k3==0] s = solve(eqn, k1,k2,k3); s 
        
[[k1 == 0, k2 == 0, k3 == 0]]
[[k1 == 0, k2 == 0, k3 == 0]]
w = matrix([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]) w.determinant() 
        
1
1
Los vectores si pueden formar base para R^3, ya que expanden a R^3 y son linealmente independiente 
       
#2 u = matrix([[1,-1,0],[1,0,0]]) u.echelon_form() 
        
[1 0 0]
[0 1 0]
[1 0 0]
[0 1 0]
var('k1,k2') eqn = [k1-k2+0*k3==0, k1+0*k2+0*k3==0, 0*k1+0*k2+0*k3==0] s = solve(eqn, k1,k2); s 
        
[[k1 == 0, k2 == 0]]
[[k1 == 0, k2 == 0]]
w = matrix([[1,-1,0],[1,0,0],[0,0,0]]) w.determinant() 
        
0
0
Los vectores no pueden formar base para R^3, ya que no se expanden. 
       
#3 u = matrix([[1,-1,-1,0],[-1,2,4,0],[1,-2,-4,0]]) u.echelon_form() 
        
[1 0 2 0]
[0 1 3 0]
[0 0 0 0]
[1 0 2 0]
[0 1 3 0]
[0 0 0 0]
var('k1,k2,k3') eqn = [k1-k2-1*k3==0, -k1+2*k2+4*k3==0, -k1-2*k2-4*k3==0] s = solve(eqn, k1,k2,k3); s 
        
[[k1 == 0, k2 == 0, k3 == 0]]
[[k1 == 0, k2 == 0, k3 == 0]]
w = matrix([[1,-1,-1],[-1,2,4],[-1,-2,-4]]) w.determinant() 
        
4
4
Los vectores si pueden formar base para R^3, ya que se expanden y son lineamente independiente