Clase Lunes 5 Dic (Independencia Lineal)

170 days ago by mayra.12@tecpabellon

Independencia Lineal

Primero veamos la definición de dependencia lineal si A es una colección de vectores de Rn es decir A={v1,v2,....vr} y R>2 y si al menos uno de los vectores en A puede ser escrito como una combinación lineal de los otros, entonces se dice que A es linealmente dependiente. En otras palabras al menos uno de los vectores dependende linealmente de los otros.

Ejemplo: Probar que el conjunto de vectores sean linealmente dependientes.
v1 = matrix([2,5,3]) v2 = matrix([1,1,1]) v3 = matrix([[4,-2,0]]) print "v1" print v1 print "v2" print v2 print "v3" print v3 
        
v1
[2 5 3]
v2
[1 1 1]
v3
[ 4 -2  0]
v1
[2 5 3]
v2
[1 1 1]
v3
[ 4 -2  0]

1: Probar que al menos uno de los vectores puede ser expresado como combinación lineal de los otros dos vectores. Nota: Puedes comenzar con cualquiera, en este caso vamos a probar que V3 puede ser expresado como una combinación lineal de v1 y v2 es decir:

(4,-2,0)=k1(2,5,3)+k2(1,1,1) y que es equivalente a tener el siguiente sistema de ecuaciones lineales, en el que se busca resolver para k1 y k2:
u = matrix([[2,1,4],[5,1,-2],[3,1,0]]) u.echelon_form() 
        
[1 0 2]
[0 1 0]
[0 0 6]
[1 0 2]
[0 1 0]
[0 0 6]

¿El sistema de ecuaciones es consistente?, además ¿Qué pasaría si sustituimos los valores encontrados para k1 y k2 ¿Son linealmente dependientes o independientes?
k1=2 k2=0 u = matrix([[2,5,3]]) v = matrix([[1,1,1]]) w=(k1*u)+(k2*v) print w 
        
[ 4 10  6]
[ 4 10  6]

2: También es posible utilizar una prueba para vectores linealmente independientes Si existe solamente la combinación lineal trivial es decir donde k1, k2 y k3 = 0, entonces los vectores son linealmente dependientes

k1V1+k2V2+.......+knVn=0 ¿Cuáles serían los valores de k1, k2 y k3? Se puede plantear un sistema de ecuaciones, igualando a cero cada una de las ecuaciones.
w = matrix([[2,1,4,0],[5,1,-2,0],[3,1,0,0]]) w.echelon_form() 
        
[1 0 2 0]
[0 1 0 0]
[0 0 6 0]
[1 0 2 0]
[0 1 0 0]
[0 0 6 0]
También puedes resolver en SAGE utilizando la instrucción solve
var('k1,k2,k3') eqn = [2*k1+k2+4*k3==0, 5*k1+k2-2*k3==0, 3*k1+k2==0] s = solve(eqn, k1,k2,k3); s 
        
[[k1 == 0, k2 == 0, k3 == 0]]
[[k1 == 0, k2 == 0, k3 == 0]]

Confirmamos que la única solución, es la trivial cuando k1, k2 y k3=0, por lo tanto los vectores son linealmente independientes

3: Otra prueba más que se puede hacer cuando se trata de Sistemas de Ecuaciones Homogéneos, es el determinante, si el determinante es diferente de cero, los vectores son linealmente independientes.
Por ejemplo: V1=[1,2], V2=[-5,3]
w = matrix([[1,-5],[2,3]]) w.determinant() 
        
13
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Resuelve los siguientes ejercicios, utilizando en cada caso los puntos anteriores para comprobar si existe una dependencia/independencia lineal entre los vectores. Las hojas de trabajo de SAGE deberán estar publicadas antes de las 16:00 hrs del Lunes 5 de diciembre.

Ejercicio 1: ¿Los vectores V1=(4,1,-2), V2=(-3,0,1) y V3=(1,-2,1) son linealmente independientes?

Ejercicio 2: ¿Los vectores V1=(1,0,0,1), V2=(0,1,-1,0), V3=(-1,0,-1,0),V4=(1,1,1,0) son linealmente independientes?

Ejercicio 3: ¿Los vectores V1=(2,-1,1), V2=(3,-4,-2), V3=(5,-10,-8) son linealmente independientes?

v1 = matrix([4,1,-2]) v2 = matrix([-3,0,1]) v3 = matrix([[1,-2,1]]) print "v1" print v1 print "v2" print v2 print "v3" print v3 
        
v1
[ 4  1 -2]
v2
[-3  0  1]
v3
[ 1 -2  1]
v1
[ 4  1 -2]
v2
[-3  0  1]
v3
[ 1 -2  1]
u = matrix([[4,-3,1],[1,0,-2],[-2,1,1]]) u.echelon_form() 
        
[ 1  0 -2]
[ 0  1 -3]
[ 0  0  0]
[ 1  0 -2]
[ 0  1 -3]
[ 0  0  0]
k1=-2 k2=1 k3=1 u = matrix([[4,1,-2]]) v = matrix([[-3,0,1]]) z = matrix([[1,2,1]]) w=(k1*u)+(k2*v)+(k3*z) print w 
        
[-10   0   6]
[-10   0   6]
w = matrix([[2,1,4,0],[5,1,-2,0],[3,1,0,0]]) w.echelon_form()