Polinomios Axiomas Espacios Vectoriales

179 days ago by liliana.castanon@tecpabellon

Los 10 axiomas que tienen que satisfacer un espacio vectorial

Para generar los 10 axiomas tomaré como espacio vectorial el conjunto de polinomios de grado n y como ejemplo comenzaré con P1 y P2
p1 = 3*x^2+2*x+3*x; p1 p2 = 4*x^3+2*x^2+3*x+10*x; p2 print p1.simplify() print p2.simplify() 
        
3*x^2 + 5*x
4*x^3 + 2*x^2 + 13*x
3*x^2 + 5*x
4*x^3 + 2*x^2 + 13*x

1: El resultado de la suma de los dos vectores u + v, está dentro del espacio vectorial V

El vector resultado de la suma, es también un polinomio de grado n y está dentro el espacio vectorial de los polinomios de grado n
print p1 + p2 
        
4*x^3 + 5*x^2 + 18*x
4*x^3 + 5*x^2 + 18*x

2: Se cumple la Ley Conmutativa y el resultado está dentro del espacio vectorial V

u + v es igual a sumar v + u
print p2 + p1 
        
4*x^3 + 5*x^2 + 18*x
4*x^3 + 5*x^2 + 18*x

3: Se cumple la Ley Asociativa y el resultado está dentro del espacio vectorial V

No importa como agrupes los números, cuando los sumes o multipliques obtendrás el mismo resultado, aquí utilizaré un tercer polinomio p3
p3=3*x^3+2*x^2+5*x^2+6*x print (p1+p2)+p3 
        
7*x^3 + 12*x^2 + 24*x
7*x^3 + 12*x^2 + 24*x
print p1+(p2+p3) 
        
7*x^3 + 12*x^2 + 24*x
7*x^3 + 12*x^2 + 24*x

4: Existe en el espacio vectorial un elemento neutro llamado vector cero (O), en el que se satisface u + O = u

p0=0 print p1+p0 
        
3*x^2 + 5*x
3*x^2 + 5*x

5: Existe en el espacio vectorial el inverso aditivo, por cada vector que hay en el espacio hay un vector que al sumarlo da como resultado el vector cero (O)

Definiré p_n como el inverso aditivo del vector p1, así comprobamos que al sumar p1 + (p_n) = O
p_n=-3*x^2-2*x-3*x; p_n print p1+p_n 
        
0
0

6: Si k es un escalar, la multiplicación ku también existe en el espacio vectorial.

Aquí definiré k=-2, y la multiplicación dará como resultado un polinomio de grado n que permanece en el espacio vectorial que definimos.
k=-2 print k*p1 
        
-6*x^2 - 10*x
-6*x^2 - 10*x

7: Se cumple la ley asociativa con la multiplicación por escalares.

Aquí definiré otro escalar c=3 y probaremos que k(cu)=(kc)u
c=3 print k*(c*p1) 
        
-18*x^2 - 30*x
-18*x^2 - 30*x
print (k*c)*p1 
        
-18*x^2 - 30*x
-18*x^2 - 30*x

8: Se cumple la ley distributiva para los vectores y el resultado permanece en el espacio vectorial.

Esta ley permite sumar varios números y despúes multiplicar el resultado o hacer cada multiplicación por separado y luego sumar los resultados. Aquí voy a probar que k( u + v ) = ku + kv
print k*(p1+p2) 
        
-8*x^3 - 10*x^2 - 36*x
-8*x^3 - 10*x^2 - 36*x
print (k*p1)+(k*p2) 
        
-8*x^3 - 10*x^2 - 36*x
-8*x^3 - 10*x^2 - 36*x

9: Se cumple la ley distributiva para escalares y el resultado permanece en el espacio vectorial.

Esta ley permite sumar varios números y despúes multiplicar el resultado o hacer cada multiplicación por separado y luego sumar los resultados. Aquí voy utilizar dos escalares que ya definimos anteriormente k y c y vamos a probar que (k+c)u=ku + cu
print (k+c)*p1 
        
3*x^2 + 5*x
3*x^2 + 5*x
print (k*p1)+(c*p2) 
        
12*x^3 + 29*x
12*x^3 + 29*x

10: Existe el elemento identidad I, para la multiplicación que para cada vector en V, permite hacer la operación Iu=u

Aquí voy a definir el escalar I=1
I=1 print I*p1 
        
3*x^2 + 5*x
3*x^2 + 5*x