Axiomas Espacios Vectoriales

179 days ago by liliana.castanon@tecpabellon

Los 10 axiomas que tienen que satisfacer un espacio vectorial

Para generar los 10 axiomas tomaré como espacio vectorial el conjunto de matrices con dimensiones de 2 x 2
u = matrix([[1,-2],[3,0]]) print "u" print u v = matrix([[0,3],[-1,9]]) print "v" print v 
        
u
[ 1 -2]
[ 3  0]
v
[ 0  3]
[-1  9]
u
[ 1 -2]
[ 3  0]
v
[ 0  3]
[-1  9]

1: El resultado de la suma de los dos vectores u + v, está dentro del espacio vectorial V

El vector resultado de la suma, es también una matriz de 2 x 2 y está dentro el espacio vectorial de las matrices de 2 x 2
print u+v 
        
[1 1]
[2 9]
[1 1]
[2 9]

2: Se cumple la Ley Conmutativa y el resultado está dentro del espacio vectorial V

u + v es igual a sumar v + u
print v+u 
        
[1 1]
[2 9]
[1 1]
[2 9]

3: Se cumple la Ley Asociativa y el resultado está dentro del espacio vectorial V

No importa como agrupes los números, cuando los sumes o multipliques obtendrás el mismo resultado, aquí utilizaré un tercer vector w
w=matrix([[1,3],[-4,8]]) print (u+v)+w 
        
[ 2  4]
[-2 17]
[ 2  4]
[-2 17]
print u+(v+w) 
        
[ 2  4]
[-2 17]
[ 2  4]
[-2 17]

4: Existe en el espacio vectorial un elemento neutro llamado vector cero (O), en el que se satisface u + O = u

O=matrix([[0,0],[0,0]]) print u+O 
        
[ 1 -2]
[ 3  0]
[ 1 -2]
[ 3  0]

5: Existe en el espacio vectorial el inverso aditivo, por cada vector que hay en el espacio hay un vector que al sumarlo da como resultado el vector cero (O)

Definiré w_n como el inverso aditivo del vector w, así comprobamos que al sumar w + (w_n) = O
w_m=matrix([[-1,-3],[+4,-8]]) print w+w_m 
        
[0 0]
[0 0]
[0 0]
[0 0]

6: Si k es un escalar, la multiplicación ku también existe en el espacio vectorial.

Aquí definiré k=-2, y la multiplicación dará como resultado un matriz con dimensiones 2 x 2 que permanece en el espacio vectorial que definimos.
k=-2 print k*u 
        
[-2  4]
[-6  0]
[-2  4]
[-6  0]

7: Se cumple la ley asociativa con la multiplicación por escalares.

Aquí definiré otro escalar c=3 y probaremos que k(cu)=(kc)u
c=3 print k*(c*u) 
        
[ -6  12]
[-18   0]
[ -6  12]
[-18   0]
print (k*c)*u 
        
[ -6  12]
[-18   0]
[ -6  12]
[-18   0]

8: Se cumple la ley distributiva para los vectores y el resultado permanece en el espacio vectorial.

Esta ley permite sumar varios números y despúes multiplicar el resultado o hacer cada multiplicación por separado y luego sumar los resultados. Aquí voy a probar que k( u + v ) = ku + kv
print k*(u+v) 
        
[ -2  -2]
[ -4 -18]
[ -2  -2]
[ -4 -18]
print (k*u)+(k*v) 
        
[ -2  -2]
[ -4 -18]
[ -2  -2]
[ -4 -18]

9: Se cumple la ley distributiva para escalares y el resultado permanece en el espacio vectorial.

Esta ley permite sumar varios números y despúes multiplicar el resultado o hacer cada multiplicación por separado y luego sumar los resultados. Aquí voy utilizar dos escalares que ya definimos anteriormente k y c y vamos a probar que (k+c)u=ku + cu
print (k+c)*u 
        
[ 1 -2]
[ 3  0]
[ 1 -2]
[ 3  0]
print (k*u)+(c*u) 
        
[ 1 -2]
[ 3  0]
[ 1 -2]
[ 3  0]

10: Existe el elemento identidad I, para la multiplicación que para cada vector en V, permite hacer la operación Iu=u

Aquí voy a definir el escalar I=1
I=1 u = matrix([[1,-2],[3,0]]) print I*u 
        
[ 1 -2]
[ 3  0]
[ 1 -2]
[ 3  0]