Unidad IV Series
Series de Taylor
Rúbrica de la Unidad 4
Evaluación de la Unidad 3
¿Cómo funcionan las calculadoras?
¿Cómo es posible que las calculadoras (o computadoras) encuentren los valores de millones de raíces cuadradas, y como encuentran los valores de millones de ángulos para las funciones trigonométricas?
Las calculadoras y computadoras no tienen almacenadas todas las respuestas en su memoria, de hecho utilizan expansiones polinomiales de las series de Taylor y Maclaurin. Dependiendo de la precisión y el número de decimales, es el número de términos de la serie.
El objetivo de una serie de Taylor es encontrar una buena aproximación de alguna función, expresada en un polinomio. Se deben cumplir las siguientes condiciones:
1) La función f(x) tiene que ser infinitamente diferenciable, es decir que se pueda encontrar la primera derivada, segunda, tercera derivada, y así hasta el "infinito".
2) La función f(x) tiene que estar definida en la región cercana al valor x=a.
La expansión de la serie de Taylor de la función f(x) en x=a se calcula con:
\approx f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\frac{f^{iv}(a)}{4!}(x-a)^4+.... "f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\frac{f^{iv}(a)}{4!}(x-a)^4+....")
Se puede escribir en una forma abreviada:
\approx\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} "f(x)\approx\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}")
Ejercicio 1: Calcula la serie de Taylor para Ln(x), cerca de x=10, en 5 términos.
Tiempo: 40 minutos
Bomba del Tiempo
La respuesta deberá incluir:
a)Cálculo por escrito de la serie de Taylor
b)Comprobación en Sage
c)Una gráfica con las dos curvas: 1) Serie de Taylor y 2)Función Ln(x)
d)Conclusiones respecto a la representación gráfica
Series de Taylor
Rúbrica de la Unidad 4
Evaluación de la Unidad 3
¿Cómo funcionan las calculadoras?
¿Cómo es posible que las calculadoras (o computadoras) encuentren los valores de millones de raíces cuadradas, y como encuentran los valores de millones de ángulos para las funciones trigonométricas?
Las calculadoras y computadoras no tienen almacenadas todas las respuestas en su memoria, de hecho utilizan expansiones polinomiales de las series de Taylor y Maclaurin. Dependiendo de la precisión y el número de decimales, es el número de términos de la serie.
El objetivo de una serie de Taylor es encontrar una buena aproximación de alguna función, expresada en un polinomio. Se deben cumplir las siguientes condiciones:
1) La función f(x) tiene que ser infinitamente diferenciable, es decir que se pueda encontrar la primera derivada, segunda, tercera derivada, y así hasta el "infinito".
2) La función f(x) tiene que estar definida en la región cercana al valor x=a.
La expansión de la serie de Taylor de la función f(x) en x=a se calcula con:
Se puede escribir en una forma abreviada:
Ejercicio 1: Calcula la serie de Taylor para Ln(x), cerca de x=10, en 5 términos.
Tiempo: 40 minutos
Bomba del Tiempo
La respuesta deberá incluir:
a)Cálculo por escrito de la serie de Taylor
b)Comprobación en Sage
c)Una gráfica con las dos curvas: 1) Serie de Taylor y 2)Función Ln(x)
d)Conclusiones respecto a la representación gráfica
taylor(ln(x), x, 10, 5)
1/500000*(x - 10)^5 - 1/40000*(x - 10)^4 + 1/3000*(x - 10)^3 - 1/200*(x - 10)^2 + 1/10*x + log(10) - 1 1/500000*(x - 10)^5 - 1/40000*(x - 10)^4 + 1/3000*(x - 10)^3 - 1/200*(x - 10)^2 + 1/10*x + log(10) - 1 |
z=
w=taylor(sin(x^2), x, 0, 1)
plot(w,(x,0,2),color='blue')+plot(z,(x,0,2),color='red')
0.783333333333 0.69314718056 0.783333333333 0.69314718056 |
z=ln(x)
w=taylor(ln(x), x, 10, 10)
plot(w,(x,0,20),color='blue')+plot(z,(x,0,20),color='red')
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Ejercicio 2: Calcula la integral definida de la serie de Taylor para sen(x²) evaluado en los límites [0,1], en 4 términos.
Tiempo: 60 minutos
Bomba del Tiempo
La respuesta deberá incluir:
a)Cálculo por escrito de la serie de Taylor
b)Comprobación en Sage
c)Una gráfica con las dos curvas: 1) Serie de Taylor y 2)Función Sen(x²)
d)Conclusiones respecto a la representación gráfica
Tiempo: 60 minutos
Bomba del Tiempo
La respuesta deberá incluir:
a)Cálculo por escrito de la serie de Taylor
b)Comprobación en Sage
c)Una gráfica con las dos curvas: 1) Serie de Taylor y 2)Función Sen(x²)
d)Conclusiones respecto a la representación gráfica
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taylor(sin(x^2), x, 2, 4)
1/6*(x - 2)^4*(61*sin(4) - 48*cos(4)) - 4/3*(x - 2)^3*(3*sin(4) + 8*cos(4)) - (x - 2)^2*(8*sin(4) - cos(4)) + 4*(x - 2)*cos(4) + sin(4) 1/6*(x - 2)^4*(61*sin(4) - 48*cos(4)) - 4/3*(x - 2)^3*(3*sin(4) + 8*cos(4)) - (x - 2)^2*(8*sin(4) - cos(4)) + 4*(x - 2)*cos(4) + sin(4) |
u=taylor(1/6*(x - 2)^4*(61*sin(4) - 48*cos(4)) - 4/3*(x - 2)^3*(3*sin(4) +
8*cos(4)) - (x - 2)^2*(8*sin(4) - cos(4)) + 4*(x - 2)*cos(4) + sin(4), x, 0, 4)._fast_float_('x')
print u(2)
d=ln(2)
print float (d)
-0.756802495308 0.69314718056 -0.756802495308 0.69314718056 |
f=(1/6*(x - 2)^4*(61*sin(4) - 48*cos(4)) - 4/3*(x - 2)^3*(3*sin(4) +8*cos(4)) - (x - 2)^2*(8*sin(4) - cos(4)) + 4*(x - 2)*cos(4) + sin(4))
f.integrate(x,0,4)
print float (d)
0.69314718056 0.69314718056 |
Llegamos a las conclusion de que esta gràfica representada en la parte de arriba entre màs abajo este su rango en el lado de los negativos del 3 cuadrante crece màs en la parte derecha de los positivos en el segundo cuadrante podiendo variar la gràfica dependiendo de los intervalos que se indiquen para graficarla.
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