Unidad III
Rúbrica de la Unidad
Volumen
Ejercicio 8: Gráficas 3D en Sage
Tiempo: 30 minutos
Bomba del Tiempo
Rúbrica de la Unidad
Volumen
Ejercicio 8: Gráficas 3D en Sage
Tiempo: 30 minutos
Bomba del Tiempo
Para obtener una gráfica 3D de dos ecuaciones, en este caso de y=3x²,y=x+1 se utilizan las siguientes instrucciones:
var('x,y')
p2=plot3d(3*x^2,(x,-2,1),(y,-2,1),color='red');
p3=plot3d(x+1,(x,-2,1),(y,-2,1),color='blue');
show(p2+p3,viewer='tachyon')
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Utilizando el ejemplo anterior como base, genera las gráficas 3D y 2D de las ecuaciones:
a) y = x³ + 1
b) y = 2x − x²
c) x² + 4y² = 4
d) sqrt(9-x²)*cos(t),sqrt(9-x²)*sin(t))
a) y = x³ + 1
b) y = 2x − x²
c) x² + 4y² = 4
d) sqrt(9-x²)*cos(t),sqrt(9-x²)*sin(t))
var('x,y')
p2=plot3d(x^3+1,(x,-2,1),(y,-2,1),color='green');
show(p2,viewer='tachyon')
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var('x')
f1=plot(x^3+1,-10,10,color="green")
show(f1,xmin=-16,xmax=16,ymin=-15,ymax=15)
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var('x')
f1=plot(sqrt(9-x^2)*cos(x),-10,10,color="yellow")
show(f1,xmin=-16,xmax=16,ymin=-15,ymax=15)
verbose 0 (4075: plot.py, generate_plot_points) WARNING: When plotting, failed to evaluate function at 140 points. verbose 0 (4075: plot.py, generate_plot_points) Last error message: '' verbose 0 (4075: plot.py, generate_plot_points) WARNING: When plotting, failed to evaluate function at 140 points. verbose 0 (4075: plot.py, generate_plot_points) Last error message: '' |
var('x')
f1=plot(sqrt(9-x^2)*sin(x),-10,10,color="green")
show(f1,xmin=-16,xmax=16,ymin=-15,ymax=15)
verbose 0 (4075: plot.py, generate_plot_points) WARNING: When plotting, failed to evaluate function at 141 points. verbose 0 (4075: plot.py, generate_plot_points) Last error message: '' verbose 0 (4075: plot.py, generate_plot_points) WARNING: When plotting, failed to evaluate function at 141 points. verbose 0 (4075: plot.py, generate_plot_points) Last error message: '' |
var('x,y')
p2=plot3d(2*x-x^2,(x,-2,1),(y,-2,1),color='gold');
show(p2,viewer='tachyon')
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var('x')
f1=plot(2*x-x^2,-10,10,color="gold")
show(f1,xmin=-16,xmax=16,ymin=-15,ymax=15)
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var('x,y')
p2=plot3d((sqrt((-x^2+4)/4)),(x,-2,1),(y,-2,1),color='purple');
show(p2,viewer='tachyon')
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var('x')
f1=plot(sqrt((-x^2+4)/4),-10,10,color="purple")
show(f1,xmin=-16,xmax=16,ymin=-15,ymax=15)
verbose 0 (4075: plot.py, generate_plot_points) WARNING: When plotting, failed to evaluate function at 160 points. verbose 0 (4075: plot.py, generate_plot_points) Last error message: '' verbose 0 (4075: plot.py, generate_plot_points) WARNING: When plotting, failed to evaluate function at 160 points. verbose 0 (4075: plot.py, generate_plot_points) Last error message: '' |
Cálculo de Volúmenes de Sólidos en Revolución
Ejercicio 9: Sólidos en Revolución
Tiempo: 20 minutos
Bomba del Tiempo
Ejercicio 9: Sólidos en Revolución
Tiempo: 20 minutos
Bomba del Tiempo
Haz una búsqueda en internet para encontrar applets, videos e imágenes para entender el concepto de sólidos en revolución, este ejercicio se revisará al terminar el tiempo. Se pasará equipo por equipo para pedir la explicación del concepto. Debes de incluir en el documento de SAGE las direcciones de applets, videos e imágenes así como las referencias bibliográficas.
Aquí hay un ejemplo para graficar sólidos en revolución.
•http://s3.amazonaws.com/lcp/analisis-matematico/myfiles/SOLIDOSDEREVOLUCION.pdf
•http://www.youtube.com/watch?v=R55Be_taxQI
var('u')
line=u
parabola=u^2
sur1=revolution_plot3d(line,(u,0,1),opacity=0.5,rgbcolor=(1,0.5,0),show_curve=True,parallel_axis='x')
sur2=revolution_plot3d(parabola,(u,0,1),opacity=0.5,rgbcolor=(0,1,0),show_curve=True,parallel_axis='x')
show(sur1+sur2,viewer='tachyon')
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Método de los discos: Volúmenes de Sólidos en Revolución
Para calcular los volúmenes de los sólidos en revolución por el método de los discos, se consideran discos como:
Imagen tomada de: http://www.intmath.com/
El volumen de un cilindro está dado por:
V = πr²h
Ya que el radio r=y y cada disco tiene una altura de Δx, el volumen de cada "rebanada" es:
V = πy²Δx
Añadiendo los volúmenes de cada uno de los discos (que son infinitamente delgados, por su Δx) se obtiene la siguiente fórmula:
Donde y = f(x) es la ecuación de la curva cuya área está siendo rotada, mientras que a y b son los límites de la área. dx muestra que el área está siendo rotada sobre el eje de las x.
Para calcular los volúmenes de los sólidos en revolución por el método de los discos, se consideran discos como:
Imagen tomada de: http://www.intmath.com/
El volumen de un cilindro está dado por:
V = πr²h
Ya que el radio r=y y cada disco tiene una altura de Δx, el volumen de cada "rebanada" es:
V = πy²Δx
Añadiendo los volúmenes de cada uno de los discos (que son infinitamente delgados, por su Δx) se obtiene la siguiente fórmula:
Donde y = f(x) es la ecuación de la curva cuya área está siendo rotada, mientras que a y b son los límites de la área. dx muestra que el área está siendo rotada sobre el eje de las x.
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Ejemplo: Calcular el volumen de un cono generado por la recta y=3x, en los límites [0,1]
Aplicando la fórmula:
Tenemos:
Aplicando la fórmula:
Tenemos:
N(integral(pi*(3*x)^(2),(x,0,1)))
9.42477796076938 9.42477796076938 |
Recuerda que los resultados se dan en unidades cúbicas (U³)
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Ejercicio 10: ¿Funciona el método de los discos?
Tiempo: 15 minutos
Bomba del Tiempo
Comprueba tus resultados calculando el volumen de un cono, de altura=1 y radio=3, con la fórmula del cálculo de volumen.
Tiempo: 15 minutos
Bomba del Tiempo
Comprueba tus resultados calculando el volumen de un cono, de altura=1 y radio=3, con la fórmula del cálculo de volumen.
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Ejercicio 11: Cálculo de volumen
Tiempo: 30 minutos
Bomba del Tiempo
Encuentra el volumen que se genera por la curva y = x³ + 1, rotada sobre el eje de las x, delimitado por x = 0 y x = 3
Tiempo: 30 minutos
Bomba del Tiempo
Encuentra el volumen que se genera por la curva y = x³ + 1, rotada sobre el eje de las x, delimitado por x = 0 y x = 3
N(integral(pi*(x^3+1)^2,(x,0,3)))
1118.18258520271 1118.18258520271 |
var('x')
line=x
parabola=x^3+1
sur1=revolution_plot3d(line,(x,0,1),opacity=0.5,rgbcolor=(1,0.5,0),show_curve=True,parallel_axis='x')
sur2=revolution_plot3d(parabola,(x,0,3),opacity=0.5,rgbcolor=(1,0.5,0),show_curve=True,parallel_axis='x')
show(sur1+sur2,viewer='tachyon')
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Ejercicio 12: Cálculo de volumen generado por dos curvas
Tiempo: 60 minutos
Bomba del Tiempo
Si se tienen dos curvas y2 y y1 que encierran una área, la que es rotada alrededor del eje de las x, entonces el volumen que se forma por el sólido está dado por:
Recuerda que la curva y2 es la curva superior.
Una taza se hace al rotar sobre el eje de las x el área entre y = 2x²,y = x + 1. Encuentra el volumen del material que se necesita para hacer la taza, el límite inferior es 0. Nota: Para encontrar el límite superior, necesitas saber en que punto se intersectan las dos curvas.
Tiempo: 60 minutos
Bomba del Tiempo
Si se tienen dos curvas y2 y y1 que encierran una área, la que es rotada alrededor del eje de las x, entonces el volumen que se forma por el sólido está dado por:
Recuerda que la curva y2 es la curva superior.
Una taza se hace al rotar sobre el eje de las x el área entre y = 2x²,y = x + 1. Encuentra el volumen del material que se necesita para hacer la taza, el límite inferior es 0. Nota: Para encontrar el límite superior, necesitas saber en que punto se intersectan las dos curvas.
N(integral(pi*(((x+1)^2)-((2*x^2)^2)),(x,0,1)))
4.81710873550435 4.81710873550435 |
var('x,y')
p2=plot3d(2*x^2,(x,-2,1),(y,-2,1),color='yellow');
p3=plot3d(x+1,(x,-2,1),(y,-2,1),color='lime');
show(p2+p3,viewer='tachyon')
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Ejercicio 13: Cálculo de volumen generado por la rotación sobre el eje de las Y
Tiempo: 60 minutos
Bomba del Tiempo
Si se tienen rotación sobre el eje de las "y" el volumen se puede encontrar:
Tiempo: 60 minutos
Bomba del Tiempo
Si se tienen rotación sobre el eje de las "y" el volumen se puede encontrar:
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