Unidad III
Rúbrica de la Unidad
Área bajo la curva
Ejercicio 1: Cangrejillo Playero
Tiempo: 30 minutos
Bomba del Tiempo
Rúbrica de la Unidad
Área bajo la curva
Ejercicio 1: Cangrejillo Playero
Tiempo: 30 minutos
Bomba del Tiempo
Un cangrejo se acerca hacia la playa, caminando hacia adelante algunas veces y otras veces hacia atrás, la ecuación que describe su movimiento es: t²-2t-8. Encuentra:
1) El desplazamiento que ha tenido el cangrejito desde el t=1 hasta t=6.
2) La distancia total que el cangrejito recorrió desde t=1 hasta t=6.
#var ('t')
#plot((t^2-2*t-8),t,1,6,color="green")
a=1; b=6
f= lambda x:x^2-2*x-8
Lb=[[b,f(b)],[b,0],[a,0],[a,f(a)]]
Lf=[[i/10,f(i/10)]for i in xrange(10*a,10*b)]
P=polygon(Lb+Lf, rgbcolor=(0.2,0.8,0))
Q=plot(f(x),x,a-0.5,b+0.5)
show(P+Q)
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¿Cuál de las dos integrales describe cada uno de los incisos?
d=(x^(2)-(2*x)-8)
area=integral(d,1,6)
print float(area)
-3.33333333333 -3.33333333333 |
d=abs((x^(2)-(2*x)-8))
total=integral(d,1,6)
print float(total)
32.6666718426 32.6666718426 |
¿Otra forma de hacer las integrales?
N(integral(abs(x^(2)-(2*x)-8),(x,1,6)))
32.666671842626442 32.666671842626442 |
Sumas de Riemann
Una aproximación para calcular el área bajo la curva es a través de la suma de Riemann:
Un ejemplo de calcular en Sage la suma de Riemann:
Una aproximación para calcular el área bajo la curva es a través de la suma de Riemann:
Un ejemplo de calcular en Sage la suma de Riemann:
f= lambda x:x^2+1
a=0
b=2
n=4
Dx=(b-a)/n
rsum=sum([f(a+i*Dx)*Dx for i in range(n)])
print float(rsum)
3.75 3.75 |
Donde los comandos:
f=Función a integrar
a=Límite inferior
b=Límite superior
n=Número de rectángulos
Por la izquierda:
f(a+i*Dx)*Dx
Por el centro:
f(a+(i+.05)*Dx)*Dx
Por la derecha:
f(a+(i+1)*Dx)*Dx
Definen el mejor ajuste para el cálculo de la área en base a los rectángulos definidos previamente para la solución del problema
f=Función a integrar
a=Límite inferior
b=Límite superior
n=Número de rectángulos
Por la izquierda:
f(a+i*Dx)*Dx
Por el centro:
f(a+(i+.05)*Dx)*Dx
Por la derecha:
f(a+(i+1)*Dx)*Dx
Definen el mejor ajuste para el cálculo de la área en base a los rectángulos definidos previamente para la solución del problema
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Ejercicio 2: Sumas de Riemann
Tiempo: 30 minutos
Bomba del Tiempo
De acuerdo al ejemplo anterior contesta las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es el resultado de la integral al hacerla manualmente?
b) ¿Cuál aproximación da mejores resultados? (Izq, Der, Centro)
c) ¿Cuántos Rectángulos dan la mejor aproximación?
Ejercicio 3: Encuentra las áreas bajo la curva de las siguientes ecuaciones.
Tiempo: 40 minutos
a) y=x², -1,1
b) y=x³ - 5x² + 1, 0,2
c) y=x² - 1, 0,2
d) y=-x³ + 3x - 1, -1,2
Aplicaciones en Economía: Área bajo la curva
Cálculo de los excedentes del consumidor y productor
Presentación
Ejercicio 4: Aplicaciones en Economía
Tiempo: 50 minutos
Bomba del Tiempo
La curva de demanda que se generó por un estudio entre los clientes de una panaderia está definida por la siguiente ecuación:
Mientras que la curva de la oferta está definida por la siguiente ecuación:
a) El punto de equilibrio
b) Excedente del consumidor @ punto de equilibrio
c) Excedente del productor @ punto de equilibrio
Tiempo: 30 minutos
Bomba del Tiempo
De acuerdo al ejemplo anterior contesta las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es el resultado de la integral al hacerla manualmente?
b) ¿Cuál aproximación da mejores resultados? (Izq, Der, Centro)
c) ¿Cuántos Rectángulos dan la mejor aproximación?
Ejercicio 3: Encuentra las áreas bajo la curva de las siguientes ecuaciones.
Tiempo: 40 minutos
a) y=x², -1,1
b) y=x³ - 5x² + 1, 0,2
c) y=x² - 1, 0,2
d) y=-x³ + 3x - 1, -1,2
Aplicaciones en Economía: Área bajo la curva
Cálculo de los excedentes del consumidor y productor
Presentación
Ejercicio 4: Aplicaciones en Economía
Tiempo: 50 minutos
Bomba del Tiempo
La curva de demanda que se generó por un estudio entre los clientes de una panaderia está definida por la siguiente ecuación:
D(x)=(x-5)²
Mientras que la curva de la oferta está definida por la siguiente ecuación:
S(x)=x² + x + 3
Encuentra:a) El punto de equilibrio
b) Excedente del consumidor @ punto de equilibrio
c) Excedente del productor @ punto de equilibrio
var ('x')
q=plot(((x^2)-(10*x)+25),x,0,15,color="yellow")
p=plot(((x^2)+x+3),x,0,15,color="red")
show(q+p)
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Ejercicio 5: ¿Cómo prefieres que te paguen?
Tiempo: 20 minutos
Bomba del Tiempo
Si alguien te pregunta: ¿Cómo prefieres que te paguen la beca?
a)Toda al final del mes por 5,000 pesos.
b)Que te paguen un centavo el primer día y que cada día te vayan doblando la cantidad que vayas acumulando.
¿Cuál es la función que representaría el pago de tu beca?
Incluye la gráfica de la expresión.
Tiempo: 20 minutos
Bomba del Tiempo
Si alguien te pregunta: ¿Cómo prefieres que te paguen la beca?
a)Toda al final del mes por 5,000 pesos.
b)Que te paguen un centavo el primer día y que cada día te vayan doblando la cantidad que vayas acumulando.
¿Cuál es la función que representaría el pago de tu beca?
Incluye la gráfica de la expresión.
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Ejercicio 6: ¿Cuánto valen tus ahorros?
Tiempo: 30 minutos
Bomba del Tiempo
El valor de un flujo de dinero continuo y su rendimiento está dado por la ecuación:
=\displaystyle\int_{-0}^T S(T)e^{r(T-t)}dt "f(x)=\displaystyle\int_{-0}^T S(T)e^{r(T-t)}dt")
Donde:
T= Tiempo en años
S(T)= Flujo Continuo de dinero/año
r= Intéres ganado al año
t= Dinero
Si planeas depositar $ 1,200 pesos al año, continuamente en una cuenta que te paga el 6% de intéres compuesto anual. ¿Cuál será la cantidad de dinero en la cuenta al final de 10 años?
Incluye la gráfica de la función en tu respuesta, así como el procedimiento manual.
Tiempo: 30 minutos
Bomba del Tiempo
El valor de un flujo de dinero continuo y su rendimiento está dado por la ecuación:
Donde:
T= Tiempo en años
S(T)= Flujo Continuo de dinero/año
r= Intéres ganado al año
t= Dinero
Si planeas depositar $ 1,200 pesos al año, continuamente en una cuenta que te paga el 6% de intéres compuesto anual. ¿Cuál será la cantidad de dinero en la cuenta al final de 10 años?
Incluye la gráfica de la función en tu respuesta, así como el procedimiento manual.
N(integral(1200*e^(.06*(10-x)),(x,-0,10)))
16442.3760078102 16442.3760078102 |
Ejercicio 7: Áreas entre dos curvas
Tiempo: 120 minutos
Bomba del Tiempo
Para obtener el área entre dos curvas, es necesario identificar la función que está "arriba", a esta se le restará la función que está por debajo de acuerdo a la siguiente ecuación:
dx-\displaystyle\int_{a}^b g(x)dx "\displaystyle\int_{a}^b f(x)dx-\displaystyle\int_{a}^b g(x)dx")
Ejemplo:
Encontrar el área entre y = x + 1, y = 9 - x², x=-1, x=2
Tiempo: 120 minutos
Bomba del Tiempo
Para obtener el área entre dos curvas, es necesario identificar la función que está "arriba", a esta se le restará la función que está por debajo de acuerdo a la siguiente ecuación:
Ejemplo:
Encontrar el área entre y = x + 1, y = 9 - x², x=-1, x=2
x = var("x")
P1 = plot(x+1, x, -2, 3)
P2 = plot(9 - x^2, x, -2, 3)
T1 = text("$y = x+1$", (1,2.6))
T2 = text("$y = 9-x^2$", (2,7))
show(P1+P2+T1+T2)
integrate((9-x^2) - (x+1),x, -1, 2)
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39/2
Encuentra el área entre las siguientes curvas:
a) y = 12 - x², y = x² - 6
b) x = 12 - y², x = y² - 6
c) y = (1-x²)^(1/2) y una línea de 45⁰
d) y = 3x², y=6x
a) y = 12 - x², y = x² - 6
b) x = 12 - y², x = y² - 6
c) y = (1-x²)^(1/2) y una línea de 45⁰
d) y = 3x², y=6x
x = var("x")
P1 = plot(12-x^2, x, -5, 3)
P2 = plot(x^2-6, x, -5, 3)
T1 = text("$y = 12-x^2$", (1,2.6))
T2 = text("$y = x^2-6$", (2,7))
show(P1+P2+T1+T2)
integrate((x^2-6) - (12-x^2),x, -3, 3)
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-72x = var("x")
P1 = plot((12-x)^1/2, x, -5, 5)
P2 = plot(x^2-6, x, -5, 5)
T1 = text("$y = (12-x)^1/2$", (1,2.6))
T2 = text("$y = x^2-6$", (2,7))
show(P1+P2+T1+T2)
integrate((12-x)^1/2 - x^2-6,x, -3.5,2.5)
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-18.0x = var("x")
P1 = plot((1-x^2)^(1/2), x, -1, 1)
P2 = plot(1*x, x, -1, 1)
T1 = text("$y = (1-x^2)^(1/2)$", (1,2.6))
T2 = text("$y = 1*x$", (2,7))
show(P1+P2+T1+T2)
integrate(1*x - (1-x^2)^(1/2),x, -1,1)
|
-1/2*pix = var("x")
P1 = plot(3*x^2, x, -4, 4)
P2 = plot(6*x, x, -4, 4)
T1 = text("$y = 3*x^2$", (1,2.6))
T2 = text("$y = 6*x$", (2,7))
show(P1+P2+T1+T2)
integrate((3*x^2) - (6*x),x, 0, 2)
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-4|
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