Unidad III
Rúbrica de la Unidad
Área bajo la curva
Ejercicio 1: Cangrejillo Playero
Tiempo: 30 minutos
Bomba del Tiempo
Rúbrica de la Unidad
Área bajo la curva
Ejercicio 1: Cangrejillo Playero
Tiempo: 30 minutos
Bomba del Tiempo
Un cangrejo se acerca hacia la playa, caminando hacia adelante algunas veces y otras veces hacia atrás, la ecuación que describe su movimiento es: t²-2t-8. Encuentra:
1) El desplazamiento que ha tenido el cangrejito desde el t=1 hasta t=6.
2) La distancia total que el cangrejito recorrió desde t=1 hasta t=6.
#var ('t')
#plot((t^2-2*t-8),t,1,6,color="green")
a=1; b=6
f= lambda x:x^2-2*x-8
Lb=[[b,f(b)],[b,0],[a,0],[a,f(a)]]
Lf=[[i/10,f(i/10)]for i in xrange(10*a,10*b)]
P=polygon(Lb+Lf, rgbcolor=(0.2,0.8,0))
Q=plot(f(x),x,a-0.5,b+0.5)
show(P+Q)
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¿Cuál de las dos integrales describe cada uno de los incisos?
#El primero describe su desplazamiento total por que sale negativo por lo tanto es un indicador de que todo el recorrido que tuvo fue retroceder y el numero 2 describe la distancia total es decir obviamente no hay distancia negativa.
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d=(x^(2)-(2*x)-8)
area=integral(d,1,6)
print float(area)
-3.33333333333 -3.33333333333 |
d=abs((x^(2)-(2*x)-8))
total=integral(d,1,6)
print float(total)
32.6666718426 32.6666718426 |
¿Otra forma de hacer las integrales?
N(integral(abs(x^(2)-(2*x)-8),(x,1,6)))
32.666671842626442 32.666671842626442 |
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Sumas de Riemann
Una aproximación para calcular el área bajo la curva es a través de la suma de Riemann:
Un ejemplo de calcular en Sage la suma de Riemann:
Una aproximación para calcular el área bajo la curva es a través de la suma de Riemann:
Un ejemplo de calcular en Sage la suma de Riemann:
f= lambda x:x^2+1
a=0
b=2
n=5
Dx=(b-a)/n
rsum=sum([f(a+i*Dx)*Dx for i in range(n)])
print float(rsum)
3.92 3.92 |
Donde los comandos:
f=Función a integrar
a=Límite inferior
b=Límite superior
n=Número de rectángulos
Por la izquierda:
f(a+i*Dx)*Dx
Por el centro:
f(a+(i+.05)*Dx)*Dx
Por la derecha:
f(a+(i+1)*Dx)*Dx
Definen el mejor ajuste para el cálculo de la área en base a los rectángulos definidos previamente para la solución del problema
Ejercicio 2: Sumas de Riemann
Tiempo: 30 minutos
Bomba del Tiempo
De acuerdo al ejemplo anterior contesta las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es el resultado de la integral al hacerla manualmente?
b) ¿Cuál aproximación da mejores resultados? (Izq, Der, Centro)
c) ¿Cuántos Rectángulos dan la mejor aproximación?
f=Función a integrar
a=Límite inferior
b=Límite superior
n=Número de rectángulos
Por la izquierda:
f(a+i*Dx)*Dx
Por el centro:
f(a+(i+.05)*Dx)*Dx
Por la derecha:
f(a+(i+1)*Dx)*Dx
Definen el mejor ajuste para el cálculo de la área en base a los rectángulos definidos previamente para la solución del problema
Ejercicio 2: Sumas de Riemann
Tiempo: 30 minutos
Bomba del Tiempo
De acuerdo al ejemplo anterior contesta las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es el resultado de la integral al hacerla manualmente?
b) ¿Cuál aproximación da mejores resultados? (Izq, Der, Centro)
c) ¿Cuántos Rectángulos dan la mejor aproximación?
f= lambda x:x^2+1
a=0
b=2
n=500
Dx=(b-a)/n
rsum=sum([f(a+(i+.05)*Dx)*Dx for i in range(n)])
print float(rsum)
4.65947048 4.65947048 |
N(integral(abs(x^(2)+1),(x,0,2)))
4.66666666666667 4.66666666666667 |
plot((x^(2)+1),x,0,2,color="red")
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# a) el resultado de la integral hecha en la libreta dio como resultado 4.666 ;)
# b) La mejor aproximación ya comprobada es la del centro ya que nos da un valor mas exacto
# c) Según el equipo con 500 rectángulos en el centro da una aproximación muy cercana ya redondeando nos da el resultado correcto.
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Ejercicio 3: Encuentra las áreas bajo la curva de las siguientes ecuaciones.
Tiempo: 40 minutos
a) y=x², -1,1
b) y=x³ - 5x² + 1, 0,2
c) y=x² - 1, 0,2
d) y=-x³ + 3x - 1, -1,2
Tiempo: 40 minutos
a) y=x², -1,1
b) y=x³ - 5x² + 1, 0,2
c) y=x² - 1, 0,2
d) y=-x³ + 3x - 1, -1,2
N(integral((x^(2)),(x,-1,1)))
0.666666666666667 0.666666666666667 |
#plot((x^2),x,-1,1,color="green")
a=-1; b=1
f= lambda x:x^2
Lb=[[b,f(b)],[b,0],[a,0],[a,f(a)]]
Lf=[[i/10,f(i/10)]for i in xrange(10*a,10*b)]
P=polygon(Lb+Lf, rgbcolor=(0.2,0.8,0))
Q=plot(f(x),x,a-0.5,b+0.5)
show(P+Q)
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2.
N(integral((x^3-5*x^2+1),(x,0,2)))
-7.33333333333333 -7.33333333333333 |
2.
#plot((x^3-5*x^2+1),x,0,2,color="pink")
a=0; b=2
f= lambda x:(x^2-5*x^2+1)
Lb=[[b,f(b)],[b,0],[a,0],[a,f(a)]]
Lf=[[i/10,f(i/10)]for i in xrange(10*a,10*b)]
P=polygon(Lb+Lf, rgbcolor=('pink'))
Q=plot(f(x),x,a-0.5,b+0.5)
show(P+Q)
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3.
N(integral((x^2-1),(x,0,2)))
0.666666666666667 0.666666666666667 |
3.
#plot((x^2-1),x,0,2,color="blue")
a=0; b=2
f= lambda x:(x^2-1)
Lb=[[b,f(b)],[b,0],[a,0],[a,f(a)]]
Lf=[[i/10,f(i/10)]for i in xrange(10*a,10*b)]
P=polygon(Lb+Lf, rgbcolor=('blue'))
Q=plot(f(x),x,a-0.5,b+0.5)
show(P+Q)
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4.
N(integral((-x^3+3*x-1),(x,-1,2)))
-2.25000000000000 -2.25000000000000 |
4.
#plot((-x^3+3*x-1),x,0,2,color="red")
a=-1; b=2
f= lambda x:(-x^3+3*x-1)
Lb=[[b,f(b)],[b,0],[a,0],[a,f(a)]]
Lf=[[i/10,f(i/10)]for i in xrange(10*a,10*b)]
P=polygon(Lb+Lf, rgbcolor=('red'))
Q=plot(f(x),x,a-0.5,b+0.5)
show(P+Q)
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Aplicaciones en Economía: Área bajo la curva
Cálculo de los excedentes del consumidor y productor
Presentación
Cálculo de los excedentes del consumidor y productor
Presentación
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Ejercicio 4: Aplicaciones en Economía
Tiempo: 50 minutos
Bomba del Tiempo
La curva de demanda que se generó por un estudio entre los clientes de una panaderia está definida por la siguiente ecuación:
Mientras que la curva de la oferta está definida por la siguiente ecuación:
a) El punto de equilibrio
b) Excedente del consumidor @ punto de equilibrio
c) Excedente del productor @ punto de equilibrio
Tiempo: 50 minutos
Bomba del Tiempo
La curva de demanda que se generó por un estudio entre los clientes de una panaderia está definida por la siguiente ecuación:
D(x)=(x-5)²
Mientras que la curva de la oferta está definida por la siguiente ecuación:
S(x)=x² + x + 3
Encuentra:a) El punto de equilibrio
b) Excedente del consumidor @ punto de equilibrio
c) Excedente del productor @ punto de equilibrio
A) el punto de equilibrio fue 2
B)
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q=plot(((x^2)-(10*x)+25),x,0,15,color="green")
p=plot(((x^2)+x+3),x,0,15,color="yellow")
show(q+p)
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N(integral(abs(x^(2)-10*x+25),(x,0,2)))
32.6666666666667 32.6666666666667 |
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Ejercicio 5: ¿Cómo prefieres que te paguen?
Tiempo: 20 minutos
Bomba del Tiempo
Si alguien te pregunta: ¿Cómo prefieres que te paguen la beca?
a)Toda al final del mes por 5,000 pesos.
b)Que te paguen un centavo el primer día y que cada día te vayan doblando la cantidad que vayas acumulando.
¿Cuál es la función que representaría el pago de tu beca?
Incluye la gráfica de la expresión.
Tiempo: 20 minutos
Bomba del Tiempo
Si alguien te pregunta: ¿Cómo prefieres que te paguen la beca?
a)Toda al final del mes por 5,000 pesos.
b)Que te paguen un centavo el primer día y que cada día te vayan doblando la cantidad que vayas acumulando.
¿Cuál es la función que representaría el pago de tu beca?
Incluye la gráfica de la expresión.
#Si alguien me preguntara esas 2 opciones obviamente seria la opción (B) seria mejor ir doblando cada día
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#plot((644962*x-6*e+06),x,0,0,color="blue")
a=0; b=2
f= lambda x:(644962*x-6*e+06)
Lb=[[b,f(b)],[b,0],[a,0],[a,f(a)]]
Lf=[[i/10,f(i/10)]for i in xrange(10*a,10*b)]
P=polygon(Lb+Lf, rgbcolor=('blue'))
Q=plot(f(x),x,a-0.5,b+0.5)
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N(integral((.0161e^.7464*x),(x,0,30)))
Traceback (click to the left of this block for traceback) ... SyntaxError: invalid token Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
File "_sage_input_15.py", line 10, in <module>
exec compile(u'open("___code___.py","w").write("# -*- coding: utf-8 -*-\\n" + _support_.preparse_worksheet_cell(base64.b64decode("TihpbnRlZ3JhbCgoLjAxNjFlXi43NDY0KngpLCh4LDAsMzApKSk="),globals())+"\\n"); execfile(os.path.abspath("___code___.py"))
File "", line 1, in <module>
File "/tmp/tmpwMF1Nw/___code___.py", line 3
N(integral((.0161e**_sage_const_p7464 *x),(x,_sage_const_0 ,_sage_const_30 )))
^
SyntaxError: invalid token
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Ejercicio 6: ¿Cuánto valen tus ahorros?
Tiempo: 30 minutos
Bomba del Tiempo
El valor de un flujo de dinero continuo y su rendimiento está dado por la ecuación:
=\displaystyle\int_{-0}^T S(T)e^{r(T-t)}dt "f(x)=\displaystyle\int_{-0}^T S(T)e^{r(T-t)}dt")
Donde:
T= Tiempo en años
S(T)= Flujo Continuo de dinero/año
r= Intéres ganado al año
t= Dinero
Si planeas depositar $ 1,200 pesos al año, continuamente en una cuenta que te paga el 6% de intéres compuesto anual. ¿Cuál será la cantidad de dinero en la cuenta al final de 10 años?
Incluye la gráfica de la función en tu respuesta, así como el procedimiento manual.
Tiempo: 30 minutos
Bomba del Tiempo
El valor de un flujo de dinero continuo y su rendimiento está dado por la ecuación:
Donde:
T= Tiempo en años
S(T)= Flujo Continuo de dinero/año
r= Intéres ganado al año
t= Dinero
Si planeas depositar $ 1,200 pesos al año, continuamente en una cuenta que te paga el 6% de intéres compuesto anual. ¿Cuál será la cantidad de dinero en la cuenta al final de 10 años?
Incluye la gráfica de la función en tu respuesta, así como el procedimiento manual.
var ('t')
f=(1200*e^(0.06*(10-t)))
f.integral(t)
-20000.0*e^(-0.06*t + 0.6) -20000.0*e^(-0.06*t + 0.6) |
var ('t')
N(integral(1200*e^(0.06*(10-t)),(t,0,10)))
16442.3760078102 16442.3760078102 |
Ejercicio 7: Áreas entre dos curvas
Tiempo: 120 minutos
Bomba del Tiempo
Para obtener el área entre dos curvas, es necesario identificar la función que está "arriba", a esta se le restará la función que está por debajo de acuerdo a la siguiente ecuación:
dx-\displaystyle\int_{a}^b g(x)dx "\displaystyle\int_{a}^b f(x)dx-\displaystyle\int_{a}^b g(x)dx")
Ejemplo:
Encontrar el área entre y = x + 1, y = 9 - x², x=-1, x=2
Tiempo: 120 minutos
Bomba del Tiempo
Para obtener el área entre dos curvas, es necesario identificar la función que está "arriba", a esta se le restará la función que está por debajo de acuerdo a la siguiente ecuación:
Ejemplo:
Encontrar el área entre y = x + 1, y = 9 - x², x=-1, x=2
x = var("x")
P1 = plot(x+1, x, -2, 3)
P2 = plot(9 - x^2, x, -2, 3)
T1 = text("$y = x+1$", (1,2.6))
T2 = text("$y = 9-x^2$", (2,7))
show(P1+P2+T1+T2)
integrate((9-x^2) - (x+1),x, -1, 2)
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39/2
Encuentra el área entre las siguientes curvas:
a) y = 12 - x², y = x² - 6
b) x = 12 - y², x = y² - 6
c) y = (1-x²)^(1/2) y una línea de 45⁰
d) y = 3x², y=6x
a) y = 12 - x², y = x² - 6
b) x = 12 - y², x = y² - 6
c) y = (1-x²)^(1/2) y una línea de 45⁰
d) y = 3x², y=6x
a)
x = var("x")
P1 = plot(12-x^2, x, -5, 3)
P2 = plot(x^2-6, x, -5, 3)
T1 = text("$y = 12-x^2$", (1,2.6))
T2 = text("$y = x^2-6$", (2,7))
show(P1+P2+T1+T2)
integrate((x^2-6) - (12-x^2),x, -1, 2)
|
-48b)
x = var("y")
P1 = plot(12-y^2, y, -5, 3)
P2 = plot(y^2-6, y, -5, 3)
T1 = text("$y = 12-y^2$", (1,2.6))
T2 = text("$y = y^2-6$", (2,7))
show(P1+P2+T1+T2)
integrate((y^2-6) - (12-y^2),y, -1, 2)
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-48c)
x = var("y")
P1 = plot((1-x^2)^(1/2),y, x, -2, 3)
P2 = plot(1*x, x, -2, 3)
T1 = text("$y = (1-x^2)^(1/2)$", (1,2.6))
T2 = text("$y = 1*x$", (2,7))
show(P1+P2+T1+T2)
integrate((1*x) - (1-x^2)^(1/2),x, -1, 2)
verbose 0 (4075: plot.py, generate_plot_points) WARNING: When plotting, failed to evaluate function at 120 points. verbose 0 (4075: plot.py, generate_plot_points) Last error message: '' verbose 0 (4075: plot.py, generate_plot_points) WARNING: When plotting, failed to evaluate function at 120 points. verbose 0 (4075: plot.py, generate_plot_points) Last error message: '' |
-1/4*pi - I*sqrt(3) - 1/2*arcsin(2) + 3/2x= var("x")
P1 = plot(3*x^2, x, -5, 5)
P2 = plot(6*x, x, -5, 5)
T1 = text("$y = 3*x^2$", (1,2.6))
T2 = text("$y = 6*x$", (2,7))
show(P1+P2+T1+T2)
integrate((6*x) - (3*x^2),x, -1, 2)
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0|
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VOLUME
Unidad III
Rúbrica de la Unidad
Volumen
Ejercicio 8: Gráficas 3D en Sage
Tiempo: 30 minutos
Bomba del Tiempo
Rúbrica de la Unidad
Volumen
Ejercicio 8: Gráficas 3D en Sage
Tiempo: 30 minutos
Bomba del Tiempo
Para obtener una gráfica 3D de dos ecuaciones, en este caso de y=3x²,y=x+1 se utilizan las siguientes instrucciones:
var('x,y')
p2=plot3d(3*x^2,(x,-2,1),(y,-2,1),color='red');
p3=plot3d(x+1,(x,-2,1),(y,-2,1),color='blue');
show(p2+p3,viewer='tachyon')
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Utilizando el ejemplo anterior como base, genera las gráficas 3D y 2D de las ecuaciones:
a) y = x³ + 1
b) y = 2x − x²
c) x² + 4y² = 4
d) sqrt(9-x²)*cos(t),sqrt(9-x²)*sin(t))
a) y = x³ + 1
b) y = 2x − x²
c) x² + 4y² = 4
d) sqrt(9-x²)*cos(t),sqrt(9-x²)*sin(t))
#a
x= var("x")
P1 = plot(x^3+1, x, -5, 5)
P2 = plot(2*x-x^2, x, -5, 5)
T1 = text("$y = x^3+1$", (10,6.0))
show(P1+T1)
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#a)
var('x,y')
p2=plot3d(x^3+1,(x,-2,1),(y,-2,1),color='blue');
show(p2,viewer='tachyon')
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#b)
var('x,y')
p3=plot3d(2*x-x^2,(x,-2,1),(y,-2,1),color='red');
show(p3,viewer='tachyon')
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#b)
x= var("x")
P1 = plot(2*x-x^2, x, -5, 5)
P2 = plot(x^3+1, x, -5, 5)
T1 = text("$y = 2*x-x^2$", (10,12.0))
show(P1+T1)
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#c)
x= var("x")
P1 = plot((4-x^2/4)^(1/2), x, -5, 5)
P2 = plot(x^3+1, x, -5, 5)
T1 = text("$y = (4-x^2/4)^(1/2))$", (10,12.0))
show(P1+T1)
verbose 0 (4075: plot.py, generate_plot_points) WARNING: When plotting, failed to evaluate function at 41 points. verbose 0 (4075: plot.py, generate_plot_points) Last error message: '' verbose 0 (4075: plot.py, generate_plot_points) WARNING: When plotting, failed to evaluate function at 41 points. verbose 0 (4075: plot.py, generate_plot_points) Last error message: '' |
#c)
var('x,y')
p3=plot3d((4-x^2/4)^(1/2),(x,-2,1),(y,-2,1),color='red');
show(p3,viewer='tachyon')
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x = var("x,t")
P1 = plot(((9-x^(2))^(1/2)*cos(t)), x, -2, 3)
P2 = plot(((9-x^(2))^(1/2)*sin(t)), x, -2, 3)
T1 = text("$y = x+1$", (1,2.6))
T2 = text("$y = 9-x^2$", (2,7))
show(P1+P2+T1+T2)
Traceback (click to the left of this block for traceback) ... TypeError: unsupported operand type(s) for ** or pow(): 'tuple' and 'int' Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
File "_sage_input_16.py", line 10, in <module>
exec compile(u'open("___code___.py","w").write("# -*- coding: utf-8 -*-\\n" + _support_.preparse_worksheet_cell(base64.b64decode("eCA9IHZhcigieCx0IikKUDEgPSBwbG90KCgoOS14XigyKSleKDEvMikqY29zKHQpKSwgeCwgLTIsIDMpClAyID0gcGxvdCgoKDkteF4oMikpXigxLzIpKnNpbih0KSksIHgsIC0yLCAzKQpUMSA9IHRleHQoIiR5ID0geCsxJCIsICgxLDIuNikpClQyID0gdGV4dCgiJHkgPSA5LXheMiQiLCAoMiw3KSkKc2hvdyhQMStQMitUMStUMik="),globals())+"\\n"); execfile(os.path.abspath("___code___.py"))
File "", line 1, in <module>
File "/tmp/tmpjEX3ZI/___code___.py", line 4, in <module>
P1 = plot(((_sage_const_9 -x**(_sage_const_2 ))**(_sage_const_1 /_sage_const_2 )*cos(t)), x, -_sage_const_2 , _sage_const_3 )
File "integer.pyx", line 1821, in sage.rings.integer.Integer.__pow__ (sage/rings/integer.c:12870)
TypeError: unsupported operand type(s) for ** or pow(): 'tuple' and 'int'
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Cálculo de Volúmenes de Sólidos en Revolución
Ejercicio 9: Sólidos en Revolución
Tiempo: 20 minutos
Bomba del Tiempo
Ejercicio 9: Sólidos en Revolución
Tiempo: 20 minutos
Bomba del Tiempo
Haz una búsqueda en internet para encontrar applets, videos e imágenes para entender el concepto de sólidos en revolución, este ejercicio se revisará al terminar el tiempo. Se pasará equipo por equipo para pedir la explicación del concepto. Debes de incluir en el documento de SAGE las direcciones de applets, videos e imágenes así como las referencias bibliográficas.
Aquí hay un ejemplo para graficar sólidos en revolución.
var('u')
line=u
parabola=u^2
sur1=revolution_plot3d(line,(u,0,1),opacity=0.5,rgbcolor=(1,0.5,0),show_curve=True,parallel_axis='x')
sur2=revolution_plot3d(parabola,(u,0,1),opacity=0.5,rgbcolor=(0,1,0),show_curve=True,parallel_axis='x')
show(sur1+sur2,viewer='tachyon')
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#http://www.youtube.com/watch?v=56Mzqltdbrc
#http://www.buenastareas.com/temas/solidos-de-revolucion/0
#http://www.google.com.mx/imgres?q=applets&um=1&hl=es&tbm=isch&tbnid=aL5vpQMk7tvr5M:&imgrefurl=http://www.uco.es/hbarra/index.php/mc/appletsmc&docid=e5U9_iB2NHBTbM&w=350&h=120&ei=s3E5To68FcHSgQej5cXPBg&zoom=1&iact=hc&vpx=290&vpy=594&dur=1372&hovh=96&hovw=280&tx=145&ty=50&page=2&tbnh=62&tbnw=182&start=30&ndsp=28&ved=1t:429,r:23,s:30&biw=1280&bih=933
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Método de los discos: Volúmenes de Sólidos en Revolución
Para calcular los volúmenes de los sólidos en revolución por el método de los discos, se consideran discos como:
Imagen tomada de: http://www.intmath.com/
El volumen de un cilindro está dado por:
V = πr²h
Ya que el radio r=y y cada disco tiene una altura de Δx, el volumen de cada "rebanada" es:
V = πy²Δx
Añadiendo los volúmenes de cada uno de los discos (que son infinitamente delgados, por su Δx) se obtiene la siguiente fórmula:
Donde y = f(x) es la ecuación de la curva cuya área está siendo rotada, mientras que a y b son los límites de la área. dx muestra que el área está siendo rotada sobre el eje de las x.
Para calcular los volúmenes de los sólidos en revolución por el método de los discos, se consideran discos como:
Imagen tomada de: http://www.intmath.com/
El volumen de un cilindro está dado por:
V = πr²h
Ya que el radio r=y y cada disco tiene una altura de Δx, el volumen de cada "rebanada" es:
V = πy²Δx
Añadiendo los volúmenes de cada uno de los discos (que son infinitamente delgados, por su Δx) se obtiene la siguiente fórmula:
Donde y = f(x) es la ecuación de la curva cuya área está siendo rotada, mientras que a y b son los límites de la área. dx muestra que el área está siendo rotada sobre el eje de las x.
N(integral(pi*(x^(3)+1)^(2),(x,0,3)))
Traceback (click to the left of this block for traceback) ... TypeError: unsupported operand type(s) for ** or pow(): 'tuple' and 'int' Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
File "_sage_input_17.py", line 10, in <module>
exec compile(u'open("___code___.py","w").write("# -*- coding: utf-8 -*-\\n" + _support_.preparse_worksheet_cell(base64.b64decode("TihpbnRlZ3JhbChwaSooeF4oMykrMSleKDIpLCh4LDAsMykpKQ=="),globals())+"\\n"); execfile(os.path.abspath("___code___.py"))
File "", line 1, in <module>
File "/tmp/tmpGtuHBq/___code___.py", line 3, in <module>
exec compile(u'N(integral(pi*(x**(_sage_const_3 )+_sage_const_1 )**(_sage_const_2 ),(x,_sage_const_0 ,_sage_const_3 )))
File "", line 1, in <module>
File "integer.pyx", line 1821, in sage.rings.integer.Integer.__pow__ (sage/rings/integer.c:12870)
TypeError: unsupported operand type(s) for ** or pow(): 'tuple' and 'int'
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Ejemplo: Calcular el volumen de un cono generado por la recta y=3x, en los límites [0,1]
Aplicando la fórmula:
Tenemos:
Aplicando la fórmula:
Tenemos:
N(integral(pi*(3*x)^(2),(x,0,1)))
9.42477796076938 9.42477796076938 |
Recuerda que los resultados se dan en unidades cúbicas (U³)
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Ejercicio 10: ¿Funciona el método de los discos?
Tiempo: 15 minutos
Bomba del Tiempo
Comprueba tus resultados calculando el volumen de un cono, de altura=1 y radio=3, con la fórmula del cálculo de volumen.
Tiempo: 15 minutos
Bomba del Tiempo
Comprueba tus resultados calculando el volumen de un cono, de altura=1 y radio=3, con la fórmula del cálculo de volumen.
#Cono: area de la base por altura dividido entre 3, es decir: π x r² x h/ 3 (pi por radio al cuadrado por la altura entre tres) 9.42477796076938
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Ejercicio 11: Cálculo de volumen
Tiempo: 30 minutos
Bomba del Tiempo
Encuentra el volumen que se genera por la curva y = x³ + 1, rotada sobre el eje de las x, delimitado por x = 0 y x = 3
Tiempo: 30 minutos
Bomba del Tiempo
Encuentra el volumen que se genera por la curva y = x³ + 1, rotada sobre el eje de las x, delimitado por x = 0 y x = 3
d=(pi*(x^(3)+1)^2)
area=integral(d,0,3)
print float(area)
1118.1825852 1118.1825852 |
var('x')
line=x
parabola=((x^(3)+1)^2)
sur2=revolution_plot3d(parabola,(x,0,1),opacity=0.5,rgbcolor=(0,1,0),show_curve=True,parallel_axis='x')
show(sur2,viewer='tachyon')
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Ejercicio 12: Cálculo de volumen generado por dos curvas
Tiempo: 60 minutos
Bomba del Tiempo
Si se tienen dos curvas y2 y y1 que encierran una área, la que es rotada alrededor del eje de las x, entonces el volumen que se forma por el sólido está dado por:
Recuerda que la curva y2 es la curva superior.
Una taza se hace al rotar sobre el eje de las x el área entre y = 2x²,y = x + 1. Encuentra el volumen del material que se necesita para hacer la taza, el límite inferior es 0. Nota: Para encontrar el límite superior, necesitas saber en que punto se intersectan las dos curvas.
Tiempo: 60 minutos
Bomba del Tiempo
Si se tienen dos curvas y2 y y1 que encierran una área, la que es rotada alrededor del eje de las x, entonces el volumen que se forma por el sólido está dado por:
Recuerda que la curva y2 es la curva superior.
Una taza se hace al rotar sobre el eje de las x el área entre y = 2x²,y = x + 1. Encuentra el volumen del material que se necesita para hacer la taza, el límite inferior es 0. Nota: Para encontrar el límite superior, necesitas saber en que punto se intersectan las dos curvas.
var('x')
line=x+1
parabola=2*x^2
sur1=revolution_plot3d(line,(x,0,1),opacity=0.5,rgbcolor=(1,0.5,0),show_curve=True,parallel_axis='x')
sur2=revolution_plot3d(parabola,(x,0,1),opacity=0.5,rgbcolor=(0,1,0),show_curve=True,parallel_axis='x')
show(sur1+sur2,viewer='tachyon')
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x= var("x")
P1 = plot(x+1, x, -5, 5)
P2 = plot(2*x^2, x, -5, 5)
T1 = text("$y =x+1($", (-5,5.0))
T2 = text("$y =2*x^2$", (-5,-7))
show(P1+T1+T2+P2)
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N(integral(pi*((2*x^2)^2-(x+1)^2),(x,1,0)))
4.81710873550435 4.81710873550435 |
Ejercicio 13: Cálculo de volumen generado por la rotación sobre el eje de las Y
Tiempo: 60 minutos
Bomba del Tiempo
Si se tienen rotación sobre el eje de las "y" el volumen se puede encontrar:
Tiempo: 60 minutos
Bomba del Tiempo
Si se tienen rotación sobre el eje de las "y" el volumen se puede encontrar:
N(integral((pi*(x^3)^2),(x,0,4)))
7353.12200520217 7353.12200520217 |
var('y')
line=y
parabola=(y^3)
sur1=revolution_plot3d(line,(y,0,1),opacity=0.5,rgbcolor=(1,0.5,0),show_curve=True,parallel_axis='y')
sur2=revolution_plot3d(parabola,(y,0,1),opacity=0.5,rgbcolor=(0,1,0),show_curve=True,parallel_axis='y')
show(sur1+sur2,viewer='tachyon')
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Unidad IV Series
Series de Taylor
Rúbrica de la Unidad 4
Evaluación de la Unidad 3
¿Cómo funcionan las calculadoras?
¿Cómo es posible que las calculadoras (o computadoras) encuentren los valores de millones de raíces cuadradas, y como encuentran los valores de millones de ángulos para las funciones trigonométricas?
Las calculadoras y computadoras no tienen almacenadas todas las respuestas en su memoria, de hecho utilizan expansiones polinomiales de las series de Taylor y Maclaurin. Dependiendo de la precisión y el número de decimales, es el número de términos de la serie.
El objetivo de una serie de Taylor es encontrar una buena aproximación de alguna función, expresada en un polinomio. Se deben cumplir las siguientes condiciones:
1) La función f(x) tiene que ser infinitamente diferenciable, es decir que se pueda encontrar la primera derivada, segunda, tercera derivada, y así hasta el "infinito".
2) La función f(x) tiene que estar definida en la región cercana al valor x=a.
La expansión de la serie de Taylor de la función f(x) en x=a se calcula con:
\approx f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\frac{f^{iv}(a)}{4!}(x-a)^4+.... "f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\frac{f^{iv}(a)}{4!}(x-a)^4+....")
Se puede escribir en una forma abreviada:
\approx\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} "f(x)\approx\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}")
Ejercicio 1: Calcula la serie de Taylor para Ln(x), cerca de x=10, en 5 términos.
Tiempo: 40 minutos
Bomba del Tiempo
La respuesta deberá incluir:
a)Cálculo por escrito de la serie de Taylor
b)Comprobación en Sage
c)Una gráfica con las dos curvas: 1) Serie de Taylor y 2)Función Ln(x)
d)Conclusiones respecto a la representación gráfica
Series de Taylor
Rúbrica de la Unidad 4
Evaluación de la Unidad 3
¿Cómo funcionan las calculadoras?
¿Cómo es posible que las calculadoras (o computadoras) encuentren los valores de millones de raíces cuadradas, y como encuentran los valores de millones de ángulos para las funciones trigonométricas?
Las calculadoras y computadoras no tienen almacenadas todas las respuestas en su memoria, de hecho utilizan expansiones polinomiales de las series de Taylor y Maclaurin. Dependiendo de la precisión y el número de decimales, es el número de términos de la serie.
El objetivo de una serie de Taylor es encontrar una buena aproximación de alguna función, expresada en un polinomio. Se deben cumplir las siguientes condiciones:
1) La función f(x) tiene que ser infinitamente diferenciable, es decir que se pueda encontrar la primera derivada, segunda, tercera derivada, y así hasta el "infinito".
2) La función f(x) tiene que estar definida en la región cercana al valor x=a.
La expansión de la serie de Taylor de la función f(x) en x=a se calcula con:
Se puede escribir en una forma abreviada:
Ejercicio 1: Calcula la serie de Taylor para Ln(x), cerca de x=10, en 5 términos.
Tiempo: 40 minutos
Bomba del Tiempo
La respuesta deberá incluir:
a)Cálculo por escrito de la serie de Taylor
b)Comprobación en Sage
c)Una gráfica con las dos curvas: 1) Serie de Taylor y 2)Función Ln(x)
d)Conclusiones respecto a la representación gráfica
taylor(ln(x), x, 10, 5)
1/500000*(x - 10)^5 - 1/40000*(x - 10)^4 + 1/3000*(x - 10)^3 - 1/200*(x - 10)^2 + 1/10*x + log(10) - 1 1/500000*(x - 10)^5 - 1/40000*(x - 10)^4 + 1/3000*(x - 10)^3 - 1/200*(x - 10)^2 + 1/10*x + log(10) - 1 |
u=taylor(ln(x), x, 1, 5)._fast_float_('x')
print u(2)
d=ln(2)
print float (d)
0.783333333333 0.69314718056 0.783333333333 0.69314718056 |
z=ln(x)
w=taylor(ln(x), x, 10, 10)
plot(w,(x,0,25),color='blue')+plot(z,(x,0,40),color='red')
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#Vemos que en la gráfica se juntan las 2 lineas aproximadamente en el punto 3 y poco a poco se van separando hasta el punto 20 donde ya no están juntas y la linea azul baja y se separa de la roja ;)
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Ejercicio 2: Calcula la integral definida de la serie de Taylor para sen(x²) evaluado en los límites [0,1], en 4 términos.
Tiempo: 60 minutos
Bomba del Tiempo
La respuesta deberá incluir:
a)Cálculo por escrito de la serie de Taylor
b)Comprobación en Sage
c)Una gráfica con las dos curvas: 1) Serie de Taylor y 2)Función Sen(x²)
d)Conclusiones respecto a la representación gráfica
Tiempo: 60 minutos
Bomba del Tiempo
La respuesta deberá incluir:
a)Cálculo por escrito de la serie de Taylor
b)Comprobación en Sage
c)Una gráfica con las dos curvas: 1) Serie de Taylor y 2)Función Sen(x²)
d)Conclusiones respecto a la representación gráfica
taylor(sin(x^2), x, 2, 4)
1/6*(x - 2)^4*(61*sin(4) - 48*cos(4)) - 4/3*(x - 2)^3*(3*sin(4) + 8*cos(4)) - (x - 2)^2*(8*sin(4) - cos(4)) + 4*(x - 2)*cos(4) + sin(4) 1/6*(x - 2)^4*(61*sin(4) - 48*cos(4)) - 4/3*(x - 2)^3*(3*sin(4) + 8*cos(4)) - (x - 2)^2*(8*sin(4) - cos(4)) + 4*(x - 2)*cos(4) + sin(4) |
u=taylor(sin(x^2), x, 2, 4)._fast_float_('x')
print u(2)
d=(sin(2))^2
print float (d)
-0.756802495308 0.826821810432 -0.756802495308 0.826821810432 |
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z=sin(x^2)
w=taylor((sin(x^2)), x, 2, 4)
plot(w,(x,0,10),color='blue')+plot(z,(x,0,10),color='red')
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#z=sin(x^2)
w=1/6*(x - 2)^4*(61*sin(4) - 48*cos(4)) - 4/3*(x - 2)^3*(3*sin(4) + 8*cos(4)) - (x - 2)^2*(8*sin(4) - cos(4)) + 4*(x - 2)*cos(4) + sin(4)
plot(w,(x,0,10),color='blue')
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z=sin(x^2)
#w=1/6*(x - 2)^4*(61*sin(4) - 48*cos(4)) - 4/3*(x - 2)^3*(3*sin(4) + 8*cos(4)) - (x - 2)^2*(8*sin(4) - cos(4)) + 4*(x - 2)*cos(4) + sin(4)
plot(z,(x,0,10),color='red')
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#Las gràficas se van comprimiendo conforme van acercándose más al infinito, es decir mientras va creciendo :)
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